Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81664 / 17664
↖ ↑ ↗
← N 78.490552°
E 44.296875°		 ← 60.93 m → N 78.490552°
E 44.299621°		 →
↑
60.97 m
↓
↑
60.97 m
↓
N 78.490003°
E 44.296875°		 ← 60.93 m →
3 715 m²		 N 78.490003°
E 44.299621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623050689697266 y=0.134769439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623050689697266 × 217)
    floor (0.623050689697266 × 131072)
    floor (81664.5)     		tx = 81664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134769439697266 × 217)
    floor (0.134769439697266 × 131072)
    floor (17664.5)     		ty = 17664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81664 / 17664 ti = "17/81664/17664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81664/17664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81664 ÷ 217
    81664 ÷ 131072     		x = 0.623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17664 ÷ 217
    17664 ÷ 131072     		y = 0.134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623046875 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134765625 × 2 - 1) × π
    0.73046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29483525861133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77312632} λ = 0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29483525861133))-π/2
    2×atan(9.92280118158074)-π/2
    2×1.47035744249174-π/2
    2.94071488498349-1.57079632675     		φ = 1.36991856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36991856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.490552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81664 KachelY 17664 0.77312632 1.36991856 44.296875 78.490552
    Oben rechts KachelX + 1 81665 KachelY 17664 0.77317425 1.36991856 44.299621 78.490552
    Unten links KachelX 81664 KachelY + 1 17665 0.77312632 1.36990899 44.296875 78.490003
    Unten rechts KachelX + 1 81665 KachelY + 1 17665 0.77317425 1.36990899 44.299621 78.490003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36991856-1.36990899) × R
    9.56999999979224e-06 × 6371000     		dl = 60.9704699986764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36991856-1.36990899) × R
    9.56999999979224e-06 × 6371000     		dr = 60.9704699986764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77312632-0.77317425) × cos(1.36991856) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.199529524048583 × 6371000     		do = 60.9287405083052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77312632-0.77317425) × cos(1.36990899) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.199538901604115 × 6371000     		du = 60.9316040576988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36991856)-sin(1.36990899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199529524048583-0.199538901604115)×R²
    abs(0.77317425-0.77312632)×9.37755553190311e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.37755553190311e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.37755553190311e-06×40589641000000     		ar = 3714.94124126906m²