Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81665 / 17153
↖ ↑ ↗
← N 78.767257°
E 44.299621°		 ← 59.50 m → N 78.767257°
E 44.302368°		 →
↑
59.44 m
↓
↑
59.44 m
↓
N 78.766722°
E 44.299621°		 ← 59.50 m →
3 537 m²		 N 78.766722°
E 44.302368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623058319091797 y=0.130870819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623058319091797 × 217)
    floor (0.623058319091797 × 131072)
    floor (81665.5)     		tx = 81665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130870819091797 × 217)
    floor (0.130870819091797 × 131072)
    floor (17153.5)     		ty = 17153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81665 / 17153 ti = "17/81665/17153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81665/17153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81665 ÷ 217
    81665 ÷ 131072     		x = 0.623054504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17153 ÷ 217
    17153 ÷ 131072     		y = 0.130867004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623054504394531 × 2 - 1) × π
    0.246109008789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.77317425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130867004394531 × 2 - 1) × π
    0.738265991210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.31933101431718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77317425} λ = 0.77317425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31933101431718))-π/2
    2×atan(10.1688692021618)-π/2
    2×1.47277214991846-π/2
    2.94554429983692-1.57079632675     		φ = 1.37474797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77317425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.299621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37474797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.767257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81665 KachelY 17153 0.77317425 1.37474797 44.299621 78.767257
    Oben rechts KachelX + 1 81666 KachelY 17153 0.77322219 1.37474797 44.302368 78.767257
    Unten links KachelX 81665 KachelY + 1 17154 0.77317425 1.37473864 44.299621 78.766722
    Unten rechts KachelX + 1 81666 KachelY + 1 17154 0.77322219 1.37473864 44.302368 78.766722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37474797-1.37473864) × R
    9.33000000014061e-06 × 6371000     		dl = 59.4414300008959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37474797-1.37473864) × R
    9.33000000014061e-06 × 6371000     		dr = 59.4414300008959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77317425-0.77322219) × cos(1.37474797) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.194794916284782 × 6371000     		do = 59.4953814546163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77317425-0.77322219) × cos(1.37473864) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.194804067550768 × 6371000     		du = 59.498176486802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37474797)-sin(1.37473864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194794916284782-0.194804067550768)×R²
    abs(0.77322219-0.77317425)×9.15126598580174e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.15126598580174e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.15126598580174e-06×40589641000000     		ar = 3536.57362230231m²