Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81666 / 16642
↖ ↑ ↗
← N 79.037393°
E 44.302368°		 ← 58.08 m → N 79.037393°
E 44.305115°		 →
↑
58.10 m
↓
↑
58.10 m
↓
N 79.036870°
E 44.302368°		 ← 58.09 m →
3 375 m²		 N 79.036870°
E 44.305115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623065948486328 y=0.126972198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623065948486328 × 217)
    floor (0.623065948486328 × 131072)
    floor (81666.5)     		tx = 81666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126972198486328 × 217)
    floor (0.126972198486328 × 131072)
    floor (16642.5)     		ty = 16642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81666 / 16642 ti = "17/81666/16642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81666/16642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81666 ÷ 217
    81666 ÷ 131072     		x = 0.623062133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16642 ÷ 217
    16642 ÷ 131072     		y = 0.126968383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623062133789062 × 2 - 1) × π
    0.246124267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77322219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126968383789062 × 2 - 1) × π
    0.746063232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34382677002303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77322219} λ = 0.77322219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34382677002303))-π/2
    2×atan(10.4210392769557)-π/2
    2×1.47512953208832-π/2
    2.95025906417664-1.57079632675     		φ = 1.37946274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77322219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.302368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37946274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.037393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81666 KachelY 16642 0.77322219 1.37946274 44.302368 79.037393
    Oben rechts KachelX + 1 81667 KachelY 16642 0.77327013 1.37946274 44.305115 79.037393
    Unten links KachelX 81666 KachelY + 1 16643 0.77322219 1.37945362 44.302368 79.036870
    Unten rechts KachelX + 1 81667 KachelY + 1 16643 0.77327013 1.37945362 44.305115 79.036870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37946274-1.37945362) × R
    9.11999999986257e-06 × 6371000     		dl = 58.1035199991244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37946274-1.37945362) × R
    9.11999999986257e-06 × 6371000     		dr = 58.1035199991244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77322219-0.77327013) × cos(1.37946274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190168314530433 × 6371000     		do = 58.0822981899721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77322219-0.77327013) × cos(1.37945362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190177268096225 × 6371000     		du = 58.0850328394297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37946274)-sin(1.37945362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190168314530433-0.190177268096225)×R²
    abs(0.77327013-0.77322219)×8.95356579158624e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.95356579158624e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.95356579158624e-06×40589641000000     		ar = 3374.86542099151m²