Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81672 / 17160
↖ ↑ ↗
← N 78.763511°
E 44.318848°		 ← 59.51 m → N 78.763511°
E 44.321594°		 →
↑
59.51 m
↓
↑
59.51 m
↓
N 78.762976°
E 44.318848°		 ← 59.52 m →
3 542 m²		 N 78.762976°
E 44.321594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623111724853516 y=0.130924224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623111724853516 × 217)
    floor (0.623111724853516 × 131072)
    floor (81672.5)     		tx = 81672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130924224853516 × 217)
    floor (0.130924224853516 × 131072)
    floor (17160.5)     		ty = 17160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81672 / 17160 ti = "17/81672/17160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81672/17160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81672 ÷ 217
    81672 ÷ 131072     		x = 0.62310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17160 ÷ 217
    17160 ÷ 131072     		y = 0.13092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62310791015625 × 2 - 1) × π
    0.2462158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77350981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13092041015625 × 2 - 1) × π
    0.7381591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31899545601984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77350981} λ = 0.77350981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31899545601984))-π/2
    2×atan(10.1654575261666)-π/2
    2×1.47273946201477-π/2
    2.94547892402954-1.57079632675     		φ = 1.37468260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77350981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.318848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37468260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.763511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81672 KachelY 17160 0.77350981 1.37468260 44.318848 78.763511
    Oben rechts KachelX + 1 81673 KachelY 17160 0.77355775 1.37468260 44.321594 78.763511
    Unten links KachelX 81672 KachelY + 1 17161 0.77350981 1.37467326 44.318848 78.762976
    Unten rechts KachelX + 1 81673 KachelY + 1 17161 0.77355775 1.37467326 44.321594 78.762976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37468260-1.37467326) × R
    9.34000000007984e-06 × 6371000     		dl = 59.5051400005087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37468260-1.37467326) × R
    9.34000000007984e-06 × 6371000     		dr = 59.5051400005087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77350981-0.77355775) × cos(1.37468260) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.194859033640422 × 6371000     		do = 59.5149645454097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77350981-0.77355775) × cos(1.37467326) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.194868194595874 × 6371000     		du = 59.5177625370077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37468260)-sin(1.37467326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194859033640422-0.194868194595874)×R²
    abs(0.77355775-0.77350981)×9.16095545194784e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.16095545194784e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.16095545194784e-06×40589641000000     		ar = 3541.52954487471m²