Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81696 / 17184
↖ ↑ ↗
← N 78.750659°
E 44.384766°		 ← 59.57 m → N 78.750659°
E 44.387512°		 →
↑
59.57 m
↓
↑
59.57 m
↓
N 78.750123°
E 44.384766°		 ← 59.57 m →
3 549 m²		 N 78.750123°
E 44.387512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623294830322266 y=0.131107330322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623294830322266 × 217)
    floor (0.623294830322266 × 131072)
    floor (81696.5)     		tx = 81696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131107330322266 × 217)
    floor (0.131107330322266 × 131072)
    floor (17184.5)     		ty = 17184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81696 / 17184 ti = "17/81696/17184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81696/17184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81696 ÷ 217
    81696 ÷ 131072     		x = 0.623291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17184 ÷ 217
    17184 ÷ 131072     		y = 0.131103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623291015625 × 2 - 1) × π
    0.24658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77466030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131103515625 × 2 - 1) × π
    0.73779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31784497042895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77466030} λ = 0.77466030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31784497042895))-π/2
    2×atan(10.1537690387654)-π/2
    2×1.47262730749143-π/2
    2.94525461498286-1.57079632675     		φ = 1.37445829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77466030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.384766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37445829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.750659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81696 KachelY 17184 0.77466030 1.37445829 44.384766 78.750659
    Oben rechts KachelX + 1 81697 KachelY 17184 0.77470823 1.37445829 44.387512 78.750659
    Unten links KachelX 81696 KachelY + 1 17185 0.77466030 1.37444894 44.384766 78.750123
    Unten rechts KachelX + 1 81697 KachelY + 1 17185 0.77470823 1.37444894 44.387512 78.750123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37445829-1.37444894) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dl = 59.5688500001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37445829-1.37444894) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dr = 59.5688500001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77466030-0.77470823) × cos(1.37445829) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195079038995934 × 6371000     		do = 59.5697313582842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77466030-0.77470823) × cos(1.37444894) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195088209350763 × 6371000     		du = 59.5725316364504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37445829)-sin(1.37444894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195079038995934-0.195088209350763)×R²
    abs(0.77470823-0.77466030)×9.17035482836392e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.17035482836392e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.17035482836392e-06×40589641000000     		ar = 3548.5837966286m²