Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 817 / 1263
↖ ↑ ↗
← S 38.685510°
W 36.386719°		 ← 15.257 km → S 38.685510°
W 36.210937°		 →
↑
15.243 km
↓
↑
15.243 km
↓
S 38.822591°
W 36.386719°		 ← 15.228 km →
232.342 km²		 S 38.822591°
W 36.210937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.399169921875 y=0.616943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.399169921875 × 211)
    floor (0.399169921875 × 2048)
    floor (817.5)     		tx = 817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616943359375 × 211)
    floor (0.616943359375 × 2048)
    floor (1263.5)     		ty = 1263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 817 / 1263 ti = "11/817/1263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/817/1263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 817 ÷ 211
    817 ÷ 2048     		x = 0.39892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1263 ÷ 211
    1263 ÷ 2048     		y = 0.61669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39892578125 × 2 - 1) × π
    -0.2021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.63506805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61669921875 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.733242816588379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63506805} λ = -0.63506805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.733242816588379))-π/2
    2×atan(0.480348778729936)-π/2
    2×0.447803404343322-π/2
    0.895606808686645-1.57079632675     		φ = -0.67518952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63506805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.386719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67518952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.685510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 817 KachelY 1263 -0.63506805 -0.67518952 -36.386719 -38.685510
    Oben rechts KachelX + 1 818 KachelY 1263 -0.63200008 -0.67518952 -36.210937 -38.685510
    Unten links KachelX 817 KachelY + 1 1264 -0.63506805 -0.67758204 -36.386719 -38.822591
    Unten rechts KachelX + 1 818 KachelY + 1 1264 -0.63200008 -0.67758204 -36.210937 -38.822591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67518952--0.67758204) × R
    0.00239252000000001 × 6371000     		dl = 15242.7449200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67518952--0.67758204) × R
    0.00239252000000001 × 6371000     		dr = 15242.7449200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63506805--0.63200008) × cos(-0.67518952) × R
    0.00306797000000003 × 0.78058850657304 × 6371000     		do = 15257.411729775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63506805--0.63200008) × cos(-0.67758204) × R
    0.00306797000000003 × 0.779090840599552 × 6371000     		du = 15228.1382954383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67518952)-sin(-0.67758204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78058850657304-0.779090840599552)×R²
    abs(-0.63200008--0.63506805)×0.00149766597348755×R²
    0.00306797000000003×0.00149766597348755×6371000²
    0.00306797000000003×0.00149766597348755×40589641000000     		ar = 232341842.220136m²