Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81792 / 16768
↖ ↑ ↗
← N 78.971386°
E 44.648437°		 ← 58.43 m → N 78.971386°
E 44.651184°		 →
↑
58.42 m
↓
↑
58.42 m
↓
N 78.970861°
E 44.648437°		 ← 58.43 m →
3 414 m²		 N 78.970861°
E 44.651184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624027252197266 y=0.127933502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624027252197266 × 217)
    floor (0.624027252197266 × 131072)
    floor (81792.5)     		tx = 81792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127933502197266 × 217)
    floor (0.127933502197266 × 131072)
    floor (16768.5)     		ty = 16768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81792 / 16768 ti = "17/81792/16768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81792/16768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81792 ÷ 217
    81792 ÷ 131072     		x = 0.6240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16768 ÷ 217
    16768 ÷ 131072     		y = 0.1279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6240234375 × 2 - 1) × π
    0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1279296875 × 2 - 1) × π
    0.744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3377867206709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77926224} λ = 0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3377867206709))-π/2
    2×atan(10.3582853944792)-π/2
    2×1.47455351304601-π/2
    2.94910702609201-1.57079632675     		φ = 1.37831070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37831070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.971386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81792 KachelY 16768 0.77926224 1.37831070 44.648437 78.971386
    Oben rechts KachelX + 1 81793 KachelY 16768 0.77931018 1.37831070 44.651184 78.971386
    Unten links KachelX 81792 KachelY + 1 16769 0.77926224 1.37830153 44.648437 78.970861
    Unten rechts KachelX + 1 81793 KachelY + 1 16769 0.77931018 1.37830153 44.651184 78.970861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37831070-1.37830153) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dl = 58.4220700000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37831070-1.37830153) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dr = 58.4220700000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77926224-0.77931018) × cos(1.37831070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191299205085577 × 6371000     		do = 58.4277012746359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77926224-0.77931018) × cos(1.37830153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191308205723859 × 6371000     		du = 58.4304503012435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37831070)-sin(1.37830153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191299205085577-0.191308205723859)×R²
    abs(0.77931018-0.77926224)×9.00063828124242e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.00063828124242e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.00063828124242e-06×40589641000000     		ar = 3413.54755582143m²