Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81794 / 16770
↖ ↑ ↗
← N 78.970335°
E 44.653930°		 ← 58.43 m → N 78.970335°
E 44.656677°		 →
↑
58.42 m
↓
↑
58.42 m
↓
N 78.969810°
E 44.653930°		 ← 58.44 m →
3 414 m²		 N 78.969810°
E 44.656677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624042510986328 y=0.127948760986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624042510986328 × 217)
    floor (0.624042510986328 × 131072)
    floor (81794.5)     		tx = 81794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127948760986328 × 217)
    floor (0.127948760986328 × 131072)
    floor (16770.5)     		ty = 16770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81794 / 16770 ti = "17/81794/16770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81794/16770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81794 ÷ 217
    81794 ÷ 131072     		x = 0.624038696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16770 ÷ 217
    16770 ÷ 131072     		y = 0.127944946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624038696289062 × 2 - 1) × π
    0.248077392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77935811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127944946289062 × 2 - 1) × π
    0.744110107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33769084687166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77935811} λ = 0.77935811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33769084687166))-π/2
    2×atan(10.3572923539089)-π/2
    2×1.47454434232369-π/2
    2.94908868464738-1.57079632675     		φ = 1.37829236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77935811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.653930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37829236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.970335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81794 KachelY 16770 0.77935811 1.37829236 44.653930 78.970335
    Oben rechts KachelX + 1 81795 KachelY 16770 0.77940605 1.37829236 44.656677 78.970335
    Unten links KachelX 81794 KachelY + 1 16771 0.77935811 1.37828319 44.653930 78.969810
    Unten rechts KachelX + 1 81795 KachelY + 1 16771 0.77940605 1.37828319 44.656677 78.969810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37829236-1.37828319) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dl = 58.4220700000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37829236-1.37828319) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dr = 58.4220700000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77935811-0.77940605) × cos(1.37829236) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191317206346053 × 6371000     		do = 58.4331993229376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77935811-0.77940605) × cos(1.37828319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19132620695216 × 6371000     		du = 58.4359483397182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37829236)-sin(1.37828319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191317206346053-0.19132620695216)×R²
    abs(0.77940605-0.77935811)×9.00060610667386e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.00060610667386e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.00060610667386e-06×40589641000000     		ar = 3413.86876266153m²