Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81856 / 16704
↖ ↑ ↗
← N 79.004962°
E 44.824219°		 ← 58.25 m → N 79.004962°
E 44.826965°		 →
↑
58.29 m
↓
↑
58.29 m
↓
N 79.004438°
E 44.824219°		 ← 58.25 m →
3 396 m²		 N 79.004438°
E 44.826965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624515533447266 y=0.127445220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624515533447266 × 217)
    floor (0.624515533447266 × 131072)
    floor (81856.5)     		tx = 81856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127445220947266 × 217)
    floor (0.127445220947266 × 131072)
    floor (16704.5)     		ty = 16704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81856 / 16704 ti = "17/81856/16704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81856/16704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81856 ÷ 217
    81856 ÷ 131072     		x = 0.62451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16704 ÷ 217
    16704 ÷ 131072     		y = 0.12744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62451171875 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12744140625 × 2 - 1) × π
    0.7451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34085468224658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78233020} λ = 0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34085468224658))-π/2
    2×atan(10.3901130140519)-π/2
    2×1.47484652094657-π/2
    2.94969304189314-1.57079632675     		φ = 1.37889672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37889672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.004962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81856 KachelY 16704 0.78233020 1.37889672 44.824219 79.004962
    Oben rechts KachelX + 1 81857 KachelY 16704 0.78237814 1.37889672 44.826965 79.004962
    Unten links KachelX 81856 KachelY + 1 16705 0.78233020 1.37888757 44.824219 79.004438
    Unten rechts KachelX + 1 81857 KachelY + 1 16705 0.78237814 1.37888757 44.826965 79.004438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37889672-1.37888757) × R
    9.14999999990229e-06 × 6371000     		dl = 58.2946499993775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37889672-1.37888757) × R
    9.14999999990229e-06 × 6371000     		dr = 58.2946499993775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78233020-0.78237814) × cos(1.37889672) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.190723975023126 × 6371000     		do = 58.2520112072765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78233020-0.78237814) × cos(1.37888757) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.190732957055051 × 6371000     		du = 58.2547545510239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37889672)-sin(1.37888757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190723975023126-0.190732957055051)×R²
    abs(0.78237814-0.78233020)×8.98203192489788e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.98203192489788e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.98203192489788e-06×40589641000000     		ar = 3395.86056624281m²