Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81856 / 49344
↖ ↑ ↗
← N 40.580584°
E 44.824219°		 ← 231.97 m → N 40.580584°
E 44.826965°		 →
↑
231.90 m
↓
↑
231.90 m
↓
N 40.578499°
E 44.824219°		 ← 231.98 m →
53 795 m²		 N 40.578499°
E 44.826965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624515533447266 y=0.376468658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624515533447266 × 217)
    floor (0.624515533447266 × 131072)
    floor (81856.5)     		tx = 81856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376468658447266 × 217)
    floor (0.376468658447266 × 131072)
    floor (49344.5)     		ty = 49344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81856 / 49344 ti = "17/81856/49344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81856/49344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81856 ÷ 217
    81856 ÷ 131072     		x = 0.62451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49344 ÷ 217
    49344 ÷ 131072     		y = 0.37646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62451171875 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37646484375 × 2 - 1) × π
    0.2470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.776194278647949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78233020} λ = 0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.776194278647949))-π/2
    2×atan(2.17318596759015)-π/2
    2×1.1395305707757-π/2
    2.27906114155139-1.57079632675     		φ = 0.70826481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70826481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.580584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81856 KachelY 49344 0.78233020 0.70826481 44.824219 40.580584
    Oben rechts KachelX + 1 81857 KachelY 49344 0.78237814 0.70826481 44.826965 40.580584
    Unten links KachelX 81856 KachelY + 1 49345 0.78233020 0.70822841 44.824219 40.578499
    Unten rechts KachelX + 1 81857 KachelY + 1 49345 0.78237814 0.70822841 44.826965 40.578499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70826481-0.70822841) × R
    3.63999999999365e-05 × 6371000     		dl = 231.904399999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70826481-0.70822841) × R
    3.63999999999365e-05 × 6371000     		dr = 231.904399999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78233020-0.78237814) × cos(0.70826481) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.759491789194407 × 6371000     		do = 231.968341739011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78233020-0.78237814) × cos(0.70822841) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.759515467505993 × 6371000     		du = 231.975573704849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70826481)-sin(0.70822841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759491789194407-0.759515467505993)×R²
    abs(0.78237814-0.78233020)×2.36783115858952e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36783115858952e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36783115858952e-05×40589641000000     		ar = 53795.3176781487m²