Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81857 / 16577
↖ ↑ ↗
← N 79.071291°
E 44.826965°		 ← 57.90 m → N 79.071291°
E 44.829712°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.070771°
E 44.826965°		 ← 57.91 m →
3 353 m²		 N 79.070771°
E 44.829712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624523162841797 y=0.126476287841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624523162841797 × 217)
    floor (0.624523162841797 × 131072)
    floor (81857.5)     		tx = 81857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126476287841797 × 217)
    floor (0.126476287841797 × 131072)
    floor (16577.5)     		ty = 16577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81857 / 16577 ti = "17/81857/16577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81857/16577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81857 ÷ 217
    81857 ÷ 131072     		x = 0.624519348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16577 ÷ 217
    16577 ÷ 131072     		y = 0.126472473144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624519348144531 × 2 - 1) × π
    0.249038696289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.78237814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126472473144531 × 2 - 1) × π
    0.747055053710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.34694266849833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78237814} λ = 0.78237814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34694266849833))-π/2
    2×atan(10.4535608179477)-π/2
    2×1.47542535196287-π/2
    2.95085070392575-1.57079632675     		φ = 1.38005438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78237814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.826965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38005438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.071291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81857 KachelY 16577 0.78237814 1.38005438 44.826965 79.071291
    Oben rechts KachelX + 1 81858 KachelY 16577 0.78242608 1.38005438 44.829712 79.071291
    Unten links KachelX 81857 KachelY + 1 16578 0.78237814 1.38004529 44.826965 79.070771
    Unten rechts KachelX + 1 81858 KachelY + 1 16578 0.78242608 1.38004529 44.829712 79.070771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38005438-1.38004529) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38005438-1.38004529) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78237814-0.78242608) × cos(1.38005438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189587437822478 × 6371000     		do = 57.9048834915962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78237814-0.78242608) × cos(1.38004529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189596362956965 × 6371000     		du = 57.9076094574016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38005438)-sin(1.38004529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189587437822478-0.189596362956965)×R²
    abs(0.78242608-0.78237814)×8.9251344873309e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.9251344873309e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.9251344873309e-06×40589641000000     		ar = 3353.48912922246m²