Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81890 / 16354
↖ ↑ ↗
← N 79.186804°
E 44.917603°		 ← 57.29 m → N 79.186804°
E 44.920349°		 →
↑
57.28 m
↓
↑
57.28 m
↓
N 79.186289°
E 44.917603°		 ← 57.29 m →
3 281 m²		 N 79.186289°
E 44.920349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624774932861328 y=0.124774932861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624774932861328 × 217)
    floor (0.624774932861328 × 131072)
    floor (81890.5)     		tx = 81890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124774932861328 × 217)
    floor (0.124774932861328 × 131072)
    floor (16354.5)     		ty = 16354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81890 / 16354 ti = "17/81890/16354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81890/16354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81890 ÷ 217
    81890 ÷ 131072     		x = 0.624771118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16354 ÷ 217
    16354 ÷ 131072     		y = 0.124771118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624771118164062 × 2 - 1) × π
    0.249542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78396006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124771118164062 × 2 - 1) × π
    0.750457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3576325971136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78396006} λ = 0.78396006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3576325971136))-π/2
    2×atan(10.5659080589931)-π/2
    2×1.47643338991306-π/2
    2.95286677982612-1.57079632675     		φ = 1.38207045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78396006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.917603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38207045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.186804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81890 KachelY 16354 0.78396006 1.38207045 44.917603 79.186804
    Oben rechts KachelX + 1 81891 KachelY 16354 0.78400799 1.38207045 44.920349 79.186804
    Unten links KachelX 81890 KachelY + 1 16355 0.78396006 1.38206146 44.917603 79.186289
    Unten rechts KachelX + 1 81891 KachelY + 1 16355 0.78400799 1.38206146 44.920349 79.186289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38207045-1.38206146) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dl = 57.2752899999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38207045-1.38206146) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dr = 57.2752899999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78396006-0.78400799) × cos(1.38207045) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187607547635763 × 6371000     		do = 57.2882215894132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78396006-0.78400799) × cos(1.38206146) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187616378002348 × 6371000     		du = 57.2909180480793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38207045)-sin(1.38206146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187607547635763-0.187616378002348)×R²
    abs(0.78400799-0.78396006)×8.83036658513858e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.83036658513858e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.83036658513858e-06×40589641000000     		ar = 3281.27672537812m²