Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81892 / 16484
↖ ↑ ↗
← N 79.119612°
E 44.923096°		 ← 57.65 m → N 79.119612°
E 44.925842°		 →
↑
57.66 m
↓
↑
57.66 m
↓
N 79.119094°
E 44.923096°		 ← 57.65 m →
3 324 m²		 N 79.119094°
E 44.925842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624790191650391 y=0.125766754150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624790191650391 × 217)
    floor (0.624790191650391 × 131072)
    floor (81892.5)     		tx = 81892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125766754150391 × 217)
    floor (0.125766754150391 × 131072)
    floor (16484.5)     		ty = 16484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81892 / 16484 ti = "17/81892/16484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81892/16484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81892 ÷ 217
    81892 ÷ 131072     		x = 0.624786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16484 ÷ 217
    16484 ÷ 131072     		y = 0.125762939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624786376953125 × 2 - 1) × π
    0.24957275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78405593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125762939453125 × 2 - 1) × π
    0.74847412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35140080016299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78405593} λ = 0.78405593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35140080016299))-π/2
    2×atan(10.5002682049203)-π/2
    2×1.47584703122186-π/2
    2.95169406244372-1.57079632675     		φ = 1.38089774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78405593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.923096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38089774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.119612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81892 KachelY 16484 0.78405593 1.38089774 44.923096 79.119612
    Oben rechts KachelX + 1 81893 KachelY 16484 0.78410387 1.38089774 44.925842 79.119612
    Unten links KachelX 81892 KachelY + 1 16485 0.78405593 1.38088869 44.923096 79.119094
    Unten rechts KachelX + 1 81893 KachelY + 1 16485 0.78410387 1.38088869 44.925842 79.119094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38089774-1.38088869) × R
    9.05000000006595e-06 × 6371000     		dl = 57.6575500004202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38089774-1.38088869) × R
    9.05000000006595e-06 × 6371000     		dr = 57.6575500004202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78405593-0.78410387) × cos(1.38089774) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18875930580859 × 6371000     		do = 57.6519506585707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78405593-0.78410387) × cos(1.38088869) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.188768193112475 × 6371000     		du = 57.6546650699363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38089774)-sin(1.38088869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18875930580859-0.188768193112475)×R²
    abs(0.78410387-0.78405593)×8.88730388481918e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.88730388481918e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.88730388481918e-06×40589641000000     		ar = 3324.14848099109m²