Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81904 / 16369
↖ ↑ ↗
← N 79.179072°
E 44.956055°		 ← 57.34 m → N 79.179072°
E 44.958801°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
N 79.178557°
E 44.956055°		 ← 57.34 m →
3 288 m²		 N 79.178557°
E 44.958801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624881744384766 y=0.124889373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624881744384766 × 217)
    floor (0.624881744384766 × 131072)
    floor (81904.5)     		tx = 81904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124889373779297 × 217)
    floor (0.124889373779297 × 131072)
    floor (16369.5)     		ty = 16369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81904 / 16369 ti = "17/81904/16369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81904/16369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81904 ÷ 217
    81904 ÷ 131072     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16369 ÷ 217
    16369 ÷ 131072     		y = 0.124885559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124885559082031 × 2 - 1) × π
    0.750228881835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.3569135436193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3569135436193))-π/2
    2×atan(10.5583133367158)-π/2
    2×1.47636591615791-π/2
    2.95273183231583-1.57079632675     		φ = 1.38193551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38193551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.179072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81904 KachelY 16369 0.78463117 1.38193551 44.956055 79.179072
    Oben rechts KachelX + 1 81905 KachelY 16369 0.78467911 1.38193551 44.958801 79.179072
    Unten links KachelX 81904 KachelY + 1 16370 0.78463117 1.38192651 44.956055 79.178557
    Unten rechts KachelX + 1 81905 KachelY + 1 16370 0.78467911 1.38192651 44.958801 79.178557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38193551-1.38192651) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dl = 57.3389999995268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38193551-1.38192651) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dr = 57.3389999995268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78467911) × cos(1.38193551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18774008994177 × 6371000     		do = 57.340655898094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78467911) × cos(1.38192651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187748929902851 × 6371000     		du = 57.3433558497488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38193551)-sin(1.38192651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18774008994177-0.187748929902851)×R²
    abs(0.78467911-0.78463117)×8.83996108116958e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.83996108116958e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.83996108116958e-06×40589641000000     		ar = 3287.93327487272m²