Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81904 / 16431
↖ ↑ ↗
← N 79.147055°
E 44.956055°		 ← 57.51 m → N 79.147055°
E 44.958801°		 →
↑
57.53 m
↓
↑
57.53 m
↓
N 79.146538°
E 44.956055°		 ← 57.51 m →
3 309 m²		 N 79.146538°
E 44.958801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624881744384766 y=0.125362396240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624881744384766 × 217)
    floor (0.624881744384766 × 131072)
    floor (81904.5)     		tx = 81904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125362396240234 × 217)
    floor (0.125362396240234 × 131072)
    floor (16431.5)     		ty = 16431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81904 / 16431 ti = "17/81904/16431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81904/16431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81904 ÷ 217
    81904 ÷ 131072     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16431 ÷ 217
    16431 ÷ 131072     		y = 0.125358581542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125358581542969 × 2 - 1) × π
    0.749282836914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.35394145584286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35394145584286))-π/2
    2×atan(10.5269796889486)-π/2
    2×1.47608651853667-π/2
    2.95217303707334-1.57079632675     		φ = 1.38137671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38137671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.147055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81904 KachelY 16431 0.78463117 1.38137671 44.956055 79.147055
    Oben rechts KachelX + 1 81905 KachelY 16431 0.78467911 1.38137671 44.958801 79.147055
    Unten links KachelX 81904 KachelY + 1 16432 0.78463117 1.38136768 44.956055 79.146538
    Unten rechts KachelX + 1 81905 KachelY + 1 16432 0.78467911 1.38136768 44.958801 79.146538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38137671-1.38136768) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dl = 57.5301299997799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38137671-1.38136768) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dr = 57.5301299997799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78467911) × cos(1.38137671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18828892443504 × 6371000     		do = 57.5082840793385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78467911) × cos(1.38136768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188297792913896 × 6371000     		du = 57.5109927410558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38137671)-sin(1.38136768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18828892443504-0.188297792913896)×R²
    abs(0.78467911-0.78463117)×8.86847885589459e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.86847885589459e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.86847885589459e-06×40589641000000     		ar = 3308.53697392123m²