Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81906 / 16434
↖ ↑ ↗
← N 79.145504°
E 44.961548°		 ← 57.50 m → N 79.145504°
E 44.964294°		 →
↑
57.53 m
↓
↑
57.53 m
↓
N 79.144986°
E 44.961548°		 ← 57.51 m →
3 308 m²		 N 79.144986°
E 44.964294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624897003173828 y=0.125385284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624897003173828 × 217)
    floor (0.624897003173828 × 131072)
    floor (81906.5)     		tx = 81906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125385284423828 × 217)
    floor (0.125385284423828 × 131072)
    floor (16434.5)     		ty = 16434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81906 / 16434 ti = "17/81906/16434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81906/16434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81906 ÷ 217
    81906 ÷ 131072     		x = 0.624893188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16434 ÷ 217
    16434 ÷ 131072     		y = 0.125381469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624893188476562 × 2 - 1) × π
    0.249786376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78472705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125381469726562 × 2 - 1) × π
    0.749237060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.353797645144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78472705} λ = 0.78472705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.353797645144))-π/2
    2×atan(10.5254659054944)-π/2
    2×1.47607297859963-π/2
    2.95214595719926-1.57079632675     		φ = 1.38134963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78472705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.961548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38134963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.145504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81906 KachelY 16434 0.78472705 1.38134963 44.961548 79.145504
    Oben rechts KachelX + 1 81907 KachelY 16434 0.78477498 1.38134963 44.964294 79.145504
    Unten links KachelX 81906 KachelY + 1 16435 0.78472705 1.38134060 44.961548 79.144986
    Unten rechts KachelX + 1 81907 KachelY + 1 16435 0.78477498 1.38134060 44.964294 79.144986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38134963-1.38134060) × R
    9.0300000001875e-06 × 6371000     		dl = 57.5301300011946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38134963-1.38134060) × R
    9.0300000001875e-06 × 6371000     		dr = 57.5301300011946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78472705-0.78477498) × cos(1.38134963) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188315520004459 × 6371000     		do = 57.5044094691025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78472705-0.78477498) × cos(1.38134060) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188324388437268 × 6371000     		du = 57.507117551748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38134963)-sin(1.38134060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188315520004459-0.188324388437268)×R²
    abs(0.78477498-0.78472705)×8.86843280903382e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.86843280903382e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.86843280903382e-06×40589641000000     		ar = 3308.31405064689m²