Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8191 / 57345
↖ ↑ ↗
← S 79.172366°
W135.005493°		 ← 114.74 m → S 79.172366°
W135.000000°		 →
↑
114.74 m
↓
↑
114.74 m
↓
S 79.173398°
W135.005493°		 ← 114.73 m →
13 165 m²		 S 79.173398°
W135.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124992370605469 y=0.875022888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124992370605469 × 216)
    floor (0.124992370605469 × 65536)
    floor (8191.5)     		tx = 8191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875022888183594 × 216)
    floor (0.875022888183594 × 65536)
    floor (57345.5)     		ty = 57345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8191 / 57345 ti = "16/8191/57345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8191/57345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8191 ÷ 216
    8191 ÷ 65536     		x = 0.124984741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57345 ÷ 216
    57345 ÷ 65536     		y = 0.875015258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124984741210938 × 2 - 1) × π
    -0.750030517578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.35629036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875015258789062 × 2 - 1) × π
    -0.750030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.35629036392424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35629036} λ = -2.35629036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35629036392424))-π/2
    2×atan(0.0947711383438746)-π/2
    2×0.0944889264511217-π/2
    0.188977852902243-1.57079632675     		φ = -1.38181847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35629036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.005493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38181847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.172366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8191 KachelY 57345 -2.35629036 -1.38181847 -135.005493 -79.172366
    Oben rechts KachelX + 1 8192 KachelY 57345 -2.35619449 -1.38181847 -135.000000 -79.172366
    Unten links KachelX 8191 KachelY + 1 57346 -2.35629036 -1.38183648 -135.005493 -79.173398
    Unten rechts KachelX + 1 8192 KachelY + 1 57346 -2.35619449 -1.38183648 -135.000000 -79.173398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38181847--1.38183648) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dl = 114.741710000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38181847--1.38183648) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dr = 114.741710000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35629036--2.35619449) × cos(-1.38181847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187855047537294 × 6371000     		do = 114.739565568545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35629036--2.35619449) × cos(-1.38183648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187837358143128 × 6371000     		du = 114.72876110293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38181847)-sin(-1.38183648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187855047537294-0.187837358143128)×R²
    abs(-2.35619449--2.35629036)×1.76893941657985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76893941657985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76893941657985e-05×40589641000000     		ar = 13164.7940970409m²