Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81912 / 81912
↖ ↑ ↗
← S 40.963308°
E 44.978027°		 ← 230.64 m → S 40.963308°
E 44.980774°		 →
↑
230.57 m
↓
↑
230.57 m
↓
S 40.965382°
E 44.978027°		 ← 230.63 m →
53 176 m²		 S 40.965382°
E 44.980774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624942779541016 y=0.624942779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624942779541016 × 217)
    floor (0.624942779541016 × 131072)
    floor (81912.5)     		tx = 81912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624942779541016 × 217)
    floor (0.624942779541016 × 131072)
    floor (81912.5)     		ty = 81912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81912 / 81912 ti = "17/81912/81912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81912/81912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81912 ÷ 217
    81912 ÷ 131072     		x = 0.62493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81912 ÷ 217
    81912 ÷ 131072     		y = 0.62493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62493896484375 × 2 - 1) × π
    0.2498779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78501467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.2498779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.78501466817804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78501467} λ = 0.78501467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.78501466817804))-π/2
    2×atan(0.456113011389714)-π/2
    2×0.427925865261164-π/2
    0.855851730522328-1.57079632675     		φ = -0.71494460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78501467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71494460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.963308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81912 KachelY 81912 0.78501467 -0.71494460 44.978027 -40.963308
    Oben rechts KachelX + 1 81913 KachelY 81912 0.78506261 -0.71494460 44.980774 -40.963308
    Unten links KachelX 81912 KachelY + 1 81913 0.78501467 -0.71498079 44.978027 -40.965382
    Unten rechts KachelX + 1 81913 KachelY + 1 81913 0.78506261 -0.71498079 44.980774 -40.965382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71494460--0.71498079) × R
    3.61899999999915e-05 × 6371000     		dl = 230.566489999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71494460--0.71498079) × R
    3.61899999999915e-05 × 6371000     		dr = 230.566489999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78501467-0.78506261) × cos(-0.71494460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755129561257668 × 6371000     		do = 230.636005042847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78501467-0.78506261) × cos(-0.71498079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755105835482803 × 6371000     		du = 230.628758580502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71494460)-sin(-0.71498079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755129561257668-0.755105835482803)×R²
    abs(0.78506261-0.78501467)×2.3725774865313e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3725774865313e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3725774865313e-05×40589641000000     		ar = 53176.0987606253m²