Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81913 / 16375
↖ ↑ ↗
← N 79.175978°
E 44.980774°		 ← 57.34 m → N 79.175978°
E 44.983520°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
N 79.175462°
E 44.980774°		 ← 57.35 m →
3 288 m²		 N 79.175462°
E 44.983520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624950408935547 y=0.124935150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624950408935547 × 217)
    floor (0.624950408935547 × 131072)
    floor (81913.5)     		tx = 81913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124935150146484 × 217)
    floor (0.124935150146484 × 131072)
    floor (16375.5)     		ty = 16375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81913 / 16375 ti = "17/81913/16375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81913/16375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81913 ÷ 217
    81913 ÷ 131072     		x = 0.624946594238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16375 ÷ 217
    16375 ÷ 131072     		y = 0.124931335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624946594238281 × 2 - 1) × π
    0.249893188476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.78506261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124931335449219 × 2 - 1) × π
    0.750137329101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.35662592222158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78506261} λ = 0.78506261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35662592222158))-π/2
    2×atan(10.5552769765583)-π/2
    2×1.47633891330969-π/2
    2.95267782661938-1.57079632675     		φ = 1.38188150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78506261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.980774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38188150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.175978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81913 KachelY 16375 0.78506261 1.38188150 44.980774 79.175978
    Oben rechts KachelX + 1 81914 KachelY 16375 0.78511054 1.38188150 44.983520 79.175978
    Unten links KachelX 81913 KachelY + 1 16376 0.78506261 1.38187250 44.980774 79.175462
    Unten rechts KachelX + 1 81914 KachelY + 1 16376 0.78511054 1.38187250 44.983520 79.175462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38188150-1.38187250) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dl = 57.3389999995268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38188150-1.38187250) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dr = 57.3389999995268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78506261-0.78511054) × cos(1.38188150) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187793139302214 × 6371000     		do = 57.3448942374319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78506261-0.78511054) × cos(1.38187250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187801979172021 × 6371000     		du = 57.3475935980213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38188150)-sin(1.38187250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187793139302214-0.187801979172021)×R²
    abs(0.78511054-0.78506261)×8.83986980754203e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.83986980754203e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.83986980754203e-06×40589641000000     		ar = 3288.1762799068m²