Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81918 / 81926
↖ ↑ ↗
← S 40.992338°
E 44.994507°		 ← 230.53 m → S 40.992338°
E 44.997254°		 →
↑
230.57 m
↓
↑
230.57 m
↓
S 40.994411°
E 44.994507°		 ← 230.53 m →
53 153 m²		 S 40.994411°
E 44.997254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624988555908203 y=0.625049591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624988555908203 × 217)
    floor (0.624988555908203 × 131072)
    floor (81918.5)     		tx = 81918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625049591064453 × 217)
    floor (0.625049591064453 × 131072)
    floor (81926.5)     		ty = 81926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81918 / 81926 ti = "17/81918/81926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81918/81926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81918 ÷ 217
    81918 ÷ 131072     		x = 0.624984741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81926 ÷ 217
    81926 ÷ 131072     		y = 0.625045776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624984741210938 × 2 - 1) × π
    0.249969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78530229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625045776367188 × 2 - 1) × π
    -0.250091552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.78568578477272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78530229} λ = 0.78530229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.78568578477272))-π/2
    2×atan(0.455807009071823)-π/2
    2×0.427672531014863-π/2
    0.855345062029725-1.57079632675     		φ = -0.71545126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78530229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.994507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71545126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.992338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81918 KachelY 81926 0.78530229 -0.71545126 44.994507 -40.992338
    Oben rechts KachelX + 1 81919 KachelY 81926 0.78535023 -0.71545126 44.997254 -40.992338
    Unten links KachelX 81918 KachelY + 1 81927 0.78530229 -0.71548745 44.994507 -40.994411
    Unten rechts KachelX + 1 81919 KachelY + 1 81927 0.78535023 -0.71548745 44.997254 -40.994411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71545126--0.71548745) × R
    3.61899999999915e-05 × 6371000     		dl = 230.566489999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71545126--0.71548745) × R
    3.61899999999915e-05 × 6371000     		dr = 230.566489999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78530229-0.78535023) × cos(-0.71545126) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.754797310424209 × 6371000     		do = 230.534527086706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78530229-0.78535023) × cos(-0.71548745) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.754773570806532 × 6371000     		du = 230.52727639641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71545126)-sin(-0.71548745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754797310424209-0.754773570806532)×R²
    abs(0.78535023-0.78530229)×2.37396176767657e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37396176767657e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37396176767657e-05×40589641000000     		ar = 53152.7008568623m²