Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8192 / 8192
↖ ↑ ↗
← N  0.000000°
E  0.000000°		 ← 2 443.28 m → N  0.000000°
E  0.021973°		 →
↑
2 443.28 m
↓
↑
2 443.28 m
↓
S  0.021973°
E  0.000000°		 ← 2 443.28 m →
5 969 610 m²		 S  0.021973°
E  0.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500030517578125 y=0.500030517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500030517578125 × 214)
    floor (0.500030517578125 × 16384)
    floor (8192.5)     		tx = 8192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500030517578125 × 214)
    floor (0.500030517578125 × 16384)
    floor (8192.5)     		ty = 8192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8192 / 8192 ti = "14/8192/8192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8192/8192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8192 ÷ 214
    8192 ÷ 16384     		x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8192 ÷ 214
    8192 ÷ 16384     		y = 0.5
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Φ = 0
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0))-π/2
    2×atan(1)-π/2
    2×0.785398163397448-π/2
    1.5707963267949-1.57079632675     		φ = 0.00000000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00000000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.000000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8192 KachelY 8192 0.00000000 0.00000000 0.000000 0.000000
    Oben rechts KachelX + 1 8193 KachelY 8192 0.00038350 0.00000000 0.021973 0.000000
    Unten links KachelX 8192 KachelY + 1 8193 0.00000000 -0.00038350 0.000000 -0.021973
    Unten rechts KachelX + 1 8193 KachelY + 1 8193 0.00038350 -0.00038350 0.021973 -0.021973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00000000--0.00038350) × R
    0.0003835 × 6371000     		dl = 2443.2785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00000000--0.00038350) × R
    0.0003835 × 6371000     		dr = 2443.2785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.00038350) × cos(0.00000000) × R
    0.0003835 × 1 × 6371000     		do = 2443.2785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.00038350) × cos(-0.00038350) × R
    0.0003835 × 0.999999926463876 × 6371000     		du = 2443.27832033077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00000000)-sin(-0.00038350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(1-0.999999926463876)×R²
    abs(0.00038350-0.00000000)×7.3536124078899e-08×R²
    0.0003835×7.3536124078899e-08×6371000²
    0.0003835×7.3536124078899e-08×40589641000000     		ar = 5969609.68223493m²