Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81921 / 16387
↖ ↑ ↗
← N 79.169786°
E 45.002747°		 ← 57.39 m → N 79.169786°
E 45.005493°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
N 79.169271°
E 45.002747°		 ← 57.39 m →
3 291 m²		 N 79.169271°
E 45.005493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625011444091797 y=0.125026702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625011444091797 × 217)
    floor (0.625011444091797 × 131072)
    floor (81921.5)     		tx = 81921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125026702880859 × 217)
    floor (0.125026702880859 × 131072)
    floor (16387.5)     		ty = 16387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81921 / 16387 ti = "17/81921/16387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81921/16387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81921 ÷ 217
    81921 ÷ 131072     		x = 0.625007629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16387 ÷ 217
    16387 ÷ 131072     		y = 0.125022888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625007629394531 × 2 - 1) × π
    0.250015258789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.78544610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125022888183594 × 2 - 1) × π
    0.749954223632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.35605067942614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78544610} λ = 0.78544610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35605067942614))-π/2
    2×atan(10.549206875582)-π/2
    2×1.47628488472267-π/2
    2.95256976944534-1.57079632675     		φ = 1.38177344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78544610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.002747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38177344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.169786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81921 KachelY 16387 0.78544610 1.38177344 45.002747 79.169786
    Oben rechts KachelX + 1 81922 KachelY 16387 0.78549404 1.38177344 45.005493 79.169786
    Unten links KachelX 81921 KachelY + 1 16388 0.78544610 1.38176444 45.002747 79.169271
    Unten rechts KachelX + 1 81922 KachelY + 1 16388 0.78549404 1.38176444 45.005493 79.169271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38177344-1.38176444) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dl = 57.3389999995268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38177344-1.38176444) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dr = 57.3389999995268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78544610-0.78549404) × cos(1.38177344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187899275667057 × 6371000     		do = 57.3892753160373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78544610-0.78549404) × cos(1.38176444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187908115354172 × 6371000     		du = 57.3919751840158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38177344)-sin(1.38176444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187899275667057-0.187908115354172)×R²
    abs(0.78549404-0.78544610)×8.83968711531957e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.83968711531957e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.83968711531957e-06×40589641000000     		ar = 3290.72106110399m²