Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81922 / 49154
↖ ↑ ↗
← N 40.975751°
E 45.005493°		 ← 230.54 m → N 40.975751°
E 45.008240°		 →
↑
230.63 m
↓
↑
230.63 m
↓
N 40.973677°
E 45.005493°		 ← 230.55 m →
53 171 m²		 N 40.973677°
E 45.008240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625019073486328 y=0.375019073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625019073486328 × 217)
    floor (0.625019073486328 × 131072)
    floor (81922.5)     		tx = 81922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375019073486328 × 217)
    floor (0.375019073486328 × 131072)
    floor (49154.5)     		ty = 49154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81922 / 49154 ti = "17/81922/49154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81922/49154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81922 ÷ 217
    81922 ÷ 131072     		x = 0.625015258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49154 ÷ 217
    49154 ÷ 131072     		y = 0.375015258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625015258789062 × 2 - 1) × π
    0.250030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78549404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375015258789062 × 2 - 1) × π
    0.249969482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.78530228957576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78549404} λ = 0.78549404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.78530228957576))-π/2
    2×atan(2.19306978267728)-π/2
    2×1.14297904700554-π/2
    2.28595809401107-1.57079632675     		φ = 0.71516177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78549404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.005493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71516177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.975751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81922 KachelY 49154 0.78549404 0.71516177 45.005493 40.975751
    Oben rechts KachelX + 1 81923 KachelY 49154 0.78554197 0.71516177 45.008240 40.975751
    Unten links KachelX 81922 KachelY + 1 49155 0.78549404 0.71512557 45.005493 40.973677
    Unten rechts KachelX + 1 81923 KachelY + 1 49155 0.78554197 0.71512557 45.008240 40.973677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71516177-0.71512557) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dl = 230.630200000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71516177-0.71512557) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dr = 230.630200000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78549404-0.78554197) × cos(0.71516177) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.754987172102298 × 6371000     		do = 230.544415497258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78549404-0.78554197) × cos(0.71512557) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.755010909379666 × 6371000     		du = 230.551663960462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71516177)-sin(0.71512557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754987172102298-0.755010909379666)×R²
    abs(0.78554197-0.78549404)×2.37372773679301e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37372773679301e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37372773679301e-05×40589641000000     		ar = 53171.3405181623m²