Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81923 / 49157
↖ ↑ ↗
← N 40.969530°
E 45.008240°		 ← 230.61 m → N 40.969530°
E 45.010986°		 →
↑
230.63 m
↓
↑
230.63 m
↓
N 40.967456°
E 45.008240°		 ← 230.62 m →
53 187 m²		 N 40.967456°
E 45.010986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625026702880859 y=0.375041961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625026702880859 × 217)
    floor (0.625026702880859 × 131072)
    floor (81923.5)     		tx = 81923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375041961669922 × 217)
    floor (0.375041961669922 × 131072)
    floor (49157.5)     		ty = 49157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81923 / 49157 ti = "17/81923/49157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81923/49157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81923 ÷ 217
    81923 ÷ 131072     		x = 0.625022888183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49157 ÷ 217
    49157 ÷ 131072     		y = 0.375038146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625022888183594 × 2 - 1) × π
    0.250045776367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.78554197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375038146972656 × 2 - 1) × π
    0.249923706054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.7851584788769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78554197} λ = 0.78554197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.7851584788769))-π/2
    2×atan(2.1927544184561)-π/2
    2×1.14292475682928-π/2
    2.28584951365856-1.57079632675     		φ = 0.71505319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78554197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.008240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71505319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.969530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81923 KachelY 49157 0.78554197 0.71505319 45.008240 40.969530
    Oben rechts KachelX + 1 81924 KachelY 49157 0.78558991 0.71505319 45.010986 40.969530
    Unten links KachelX 81923 KachelY + 1 49158 0.78554197 0.71501699 45.008240 40.967456
    Unten rechts KachelX + 1 81924 KachelY + 1 49158 0.78558991 0.71501699 45.010986 40.967456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71505319-0.71501699) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dl = 230.630200000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71505319-0.71501699) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dr = 230.630200000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78554197-0.78558991) × cos(0.71505319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755058367853029 × 6371000     		do = 230.614260744552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78554197-0.78558991) × cos(0.71501699) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755082102162661 × 6371000     		du = 230.621509813635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71505319)-sin(0.71501699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755058367853029-0.755082102162661)×R²
    abs(0.78558991-0.78554197)×2.37343096317622e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37343096317622e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37343096317622e-05×40589641000000     		ar = 53187.4490115349m²