Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81924 / 16379
↖ ↑ ↗
← N 79.173915°
E 45.010986°		 ← 57.37 m → N 79.173915°
E 45.013733°		 →
↑
57.40 m
↓
↑
57.40 m
↓
N 79.173398°
E 45.010986°		 ← 57.37 m →
3 293 m²		 N 79.173398°
E 45.013733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625034332275391 y=0.124965667724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625034332275391 × 217)
    floor (0.625034332275391 × 131072)
    floor (81924.5)     		tx = 81924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124965667724609 × 217)
    floor (0.124965667724609 × 131072)
    floor (16379.5)     		ty = 16379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81924 / 16379 ti = "17/81924/16379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81924/16379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81924 ÷ 217
    81924 ÷ 131072     		x = 0.625030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16379 ÷ 217
    16379 ÷ 131072     		y = 0.124961853027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625030517578125 × 2 - 1) × π
    0.25006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78558991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124961853027344 × 2 - 1) × π
    0.750076293945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.3564341746231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78558991} λ = 0.78558991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3564341746231))-π/2
    2×atan(10.5532532215781)-π/2
    2×1.47632090717239-π/2
    2.95264181434478-1.57079632675     		φ = 1.38184549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78558991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38184549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.173915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81924 KachelY 16379 0.78558991 1.38184549 45.010986 79.173915
    Oben rechts KachelX + 1 81925 KachelY 16379 0.78563785 1.38184549 45.013733 79.173915
    Unten links KachelX 81924 KachelY + 1 16380 0.78558991 1.38183648 45.010986 79.173398
    Unten rechts KachelX + 1 81925 KachelY + 1 16380 0.78563785 1.38183648 45.013733 79.173398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38184549-1.38183648) × R
    9.00999999986496e-06 × 6371000     		dl = 57.4027099991397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38184549-1.38183648) × R
    9.00999999986496e-06 × 6371000     		dr = 57.4027099991397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78558991-0.78563785) × cos(1.38184549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187828508512188 × 6371000     		do = 57.3676612053938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78558991-0.78563785) × cos(1.38183648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187837358143128 × 6371000     		du = 57.3703641104723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38184549)-sin(1.38183648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187828508512188-0.187837358143128)×R²
    abs(0.78563785-0.78558991)×8.84963093991664e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.84963093991664e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.84963093991664e-06×40589641000000     		ar = 3293.13679651769m²