Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81924 / 49156
↖ ↑ ↗
← N 40.971603°
E 45.010986°		 ← 230.61 m → N 40.971603°
E 45.013733°		 →
↑
230.57 m
↓
↑
230.57 m
↓
N 40.969530°
E 45.010986°		 ← 230.61 m →
53 171 m²		 N 40.969530°
E 45.013733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625034332275391 y=0.375034332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625034332275391 × 217)
    floor (0.625034332275391 × 131072)
    floor (81924.5)     		tx = 81924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375034332275391 × 217)
    floor (0.375034332275391 × 131072)
    floor (49156.5)     		ty = 49156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81924 / 49156 ti = "17/81924/49156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81924/49156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81924 ÷ 217
    81924 ÷ 131072     		x = 0.625030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49156 ÷ 217
    49156 ÷ 131072     		y = 0.375030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625030517578125 × 2 - 1) × π
    0.25006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78558991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375030517578125 × 2 - 1) × π
    0.24993896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.78520641577652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78558991} λ = 0.78558991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.78520641577652))-π/2
    2×atan(2.19285953482401)-π/2
    2×1.14294285412352-π/2
    2.28588570824704-1.57079632675     		φ = 0.71508938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78558991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71508938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.971603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81924 KachelY 49156 0.78558991 0.71508938 45.010986 40.971603
    Oben rechts KachelX + 1 81925 KachelY 49156 0.78563785 0.71508938 45.013733 40.971603
    Unten links KachelX 81924 KachelY + 1 49157 0.78558991 0.71505319 45.010986 40.969530
    Unten rechts KachelX + 1 81925 KachelY + 1 49157 0.78563785 0.71505319 45.013733 40.969530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71508938-0.71505319) × R
    3.61899999999915e-05 × 6371000     		dl = 230.566489999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71508938-0.71505319) × R
    3.61899999999915e-05 × 6371000     		dr = 230.566489999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78558991-0.78563785) × cos(0.71508938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755034639110788 × 6371000     		do = 230.607013375894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78558991-0.78563785) × cos(0.71505319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755058367853029 × 6371000     		du = 230.614260744552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71508938)-sin(0.71505319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755034639110788-0.755058367853029)×R²
    abs(0.78563785-0.78558991)×2.37287422413246e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37287422413246e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37287422413246e-05×40589641000000     		ar = 53171.0851492327m²