Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81926 / 16382
↖ ↑ ↗
← N 79.172366°
E 45.016479°		 ← 57.38 m → N 79.172366°
E 45.019226°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
N 79.171851°
E 45.016479°		 ← 57.38 m →
3 290 m²		 N 79.171851°
E 45.019226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625049591064453 y=0.124988555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625049591064453 × 217)
    floor (0.625049591064453 × 131072)
    floor (81926.5)     		tx = 81926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124988555908203 × 217)
    floor (0.124988555908203 × 131072)
    floor (16382.5)     		ty = 16382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81926 / 16382 ti = "17/81926/16382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81926/16382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81926 ÷ 217
    81926 ÷ 131072     		x = 0.625045776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16382 ÷ 217
    16382 ÷ 131072     		y = 0.124984741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625045776367188 × 2 - 1) × π
    0.250091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78568578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124984741210938 × 2 - 1) × π
    0.750030517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35629036392424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78568578} λ = 0.78568578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35629036392424))-π/2
    2×atan(10.5517356599804)-π/2
    2×1.47630740034377-π/2
    2.95261480068755-1.57079632675     		φ = 1.38181847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78568578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.016479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38181847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.172366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81926 KachelY 16382 0.78568578 1.38181847 45.016479 79.172366
    Oben rechts KachelX + 1 81927 KachelY 16382 0.78573372 1.38181847 45.019226 79.172366
    Unten links KachelX 81926 KachelY + 1 16383 0.78568578 1.38180947 45.016479 79.171851
    Unten rechts KachelX + 1 81927 KachelY + 1 16383 0.78573372 1.38180947 45.019226 79.171851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38181847-1.38180947) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dl = 57.3389999995268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38181847-1.38180947) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dr = 57.3389999995268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78568578-0.78573372) × cos(1.38181847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187855047537294 × 6371000     		do = 57.3757669067756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78568578-0.78573372) × cos(1.38180947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187863887300552 × 6371000     		du = 57.3784667980101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38181847)-sin(1.38180947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187855047537294-0.187863887300552)×R²
    abs(0.78573372-0.78568578)×8.83976325807834e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.83976325807834e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.83976325807834e-06×40589641000000     		ar = 3289.94650333203m²