Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81928 / 81928
↖ ↑ ↗
← S 40.996484°
E 45.021973°		 ← 230.52 m → S 40.996484°
E 45.024719°		 →
↑
230.50 m
↓
↑
230.50 m
↓
S 40.998557°
E 45.021973°		 ← 230.51 m →
53 135 m²		 S 40.998557°
E 45.024719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625064849853516 y=0.625064849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625064849853516 × 217)
    floor (0.625064849853516 × 131072)
    floor (81928.5)     		tx = 81928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625064849853516 × 217)
    floor (0.625064849853516 × 131072)
    floor (81928.5)     		ty = 81928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81928 / 81928 ti = "17/81928/81928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81928/81928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81928 ÷ 217
    81928 ÷ 131072     		x = 0.62506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81928 ÷ 217
    81928 ÷ 131072     		y = 0.62506103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62506103515625 × 2 - 1) × π
    0.2501220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78578166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.2501220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.78578165857196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78578166} λ = 0.78578166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.78578165857196))-π/2
    2×atan(0.455763311216916)-π/2
    2×0.427636349509866-π/2
    0.855272699019731-1.57079632675     		φ = -0.71552363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78578166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71552363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.996484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81928 KachelY 81928 0.78578166 -0.71552363 45.021973 -40.996484
    Oben rechts KachelX + 1 81929 KachelY 81928 0.78582960 -0.71552363 45.024719 -40.996484
    Unten links KachelX 81928 KachelY + 1 81929 0.78578166 -0.71555981 45.021973 -40.998557
    Unten rechts KachelX + 1 81929 KachelY + 1 81929 0.78582960 -0.71555981 45.024719 -40.998557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71552363--0.71555981) × R
    3.61800000000523e-05 × 6371000     		dl = 230.502780000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71552363--0.71555981) × R
    3.61800000000523e-05 × 6371000     		dr = 230.502780000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78578166-0.78582960) × cos(-0.71552363) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754749836760443 × 6371000     		do = 230.520027407286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78578166-0.78582960) × cos(-0.71555981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754726101726393 × 6371000     		du = 230.512778116948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71552363)-sin(-0.71555981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754749836760443-0.754726101726393)×R²
    abs(0.78582960-0.78578166)×2.37350340503983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37350340503983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37350340503983e-05×40589641000000     		ar = 53134.6716781605m²