Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81930 / 16394
↖ ↑ ↗
← N 79.166173°
E 45.027466°		 ← 57.41 m → N 79.166173°
E 45.030212°		 →
↑
57.40 m
↓
↑
57.40 m
↓
N 79.165657°
E 45.027466°		 ← 57.41 m →
3 295 m²		 N 79.165657°
E 45.030212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625080108642578 y=0.125080108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625080108642578 × 217)
    floor (0.625080108642578 × 131072)
    floor (81930.5)     		tx = 81930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125080108642578 × 217)
    floor (0.125080108642578 × 131072)
    floor (16394.5)     		ty = 16394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81930 / 16394 ti = "17/81930/16394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81930/16394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81930 ÷ 217
    81930 ÷ 131072     		x = 0.625076293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16394 ÷ 217
    16394 ÷ 131072     		y = 0.125076293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625076293945312 × 2 - 1) × π
    0.250152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78587753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125076293945312 × 2 - 1) × π
    0.749847412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3557151211288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78587753} λ = 0.78587753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3557151211288))-π/2
    2×atan(10.5456675955351)-π/2
    2×1.47625335394693-π/2
    2.95250670789385-1.57079632675     		φ = 1.38171038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78587753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.027466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38171038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.166173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81930 KachelY 16394 0.78587753 1.38171038 45.027466 79.166173
    Oben rechts KachelX + 1 81931 KachelY 16394 0.78592547 1.38171038 45.030212 79.166173
    Unten links KachelX 81930 KachelY + 1 16395 0.78587753 1.38170137 45.027466 79.165657
    Unten rechts KachelX + 1 81931 KachelY + 1 16395 0.78592547 1.38170137 45.030212 79.165657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38171038-1.38170137) × R
    9.00999999986496e-06 × 6371000     		dl = 57.4027099991397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38171038-1.38170137) × R
    9.00999999986496e-06 × 6371000     		dr = 57.4027099991397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78587753-0.78592547) × cos(1.38171038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187961212087795 × 6371000     		do = 57.4081922931742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78587753-0.78592547) × cos(1.38170137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187970061489998 × 6371000     		du = 57.4108951283904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38171038)-sin(1.38170137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187961212087795-0.187970061489998)×R²
    abs(0.78592547-0.78587753)×8.84940220238772e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.84940220238772e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.84940220238772e-06×40589641000000     		ar = 3295.46338867813m²