Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81931 / 16397
↖ ↑ ↗
← N 79.164625°
E 45.030212°		 ← 57.42 m → N 79.164625°
E 45.032959°		 →
↑
57.40 m
↓
↑
57.40 m
↓
N 79.164108°
E 45.030212°		 ← 57.42 m →
3 296 m²		 N 79.164108°
E 45.032959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625087738037109 y=0.125102996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625087738037109 × 217)
    floor (0.625087738037109 × 131072)
    floor (81931.5)     		tx = 81931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125102996826172 × 217)
    floor (0.125102996826172 × 131072)
    floor (16397.5)     		ty = 16397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81931 / 16397 ti = "17/81931/16397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81931/16397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81931 ÷ 217
    81931 ÷ 131072     		x = 0.625083923339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16397 ÷ 217
    16397 ÷ 131072     		y = 0.125099182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625083923339844 × 2 - 1) × π
    0.250167846679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.78592547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125099182128906 × 2 - 1) × π
    0.749801635742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.35557131042994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78592547} λ = 0.78592547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35557131042994))-π/2
    2×atan(10.5441511247533)-π/2
    2×1.47623983757582-π/2
    2.95247967515163-1.57079632675     		φ = 1.38168335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78592547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.030212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38168335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.164625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81931 KachelY 16397 0.78592547 1.38168335 45.030212 79.164625
    Oben rechts KachelX + 1 81932 KachelY 16397 0.78597341 1.38168335 45.032959 79.164625
    Unten links KachelX 81931 KachelY + 1 16398 0.78592547 1.38167434 45.030212 79.164108
    Unten rechts KachelX + 1 81932 KachelY + 1 16398 0.78597341 1.38167434 45.032959 79.164108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38168335-1.38167434) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dl = 57.4027100005543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38168335-1.38167434) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dr = 57.4027100005543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78592547-0.78597341) × cos(1.38168335) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187987760248624 × 6371000     		do = 57.4163007848409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78592547-0.78597341) × cos(1.38167434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187996609605046 × 6371000     		du = 57.4190036060746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38168335)-sin(1.38167434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187987760248624-0.187996609605046)×R²
    abs(0.78597341-0.78592547)×8.84935642217477e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.84935642217477e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.84935642217477e-06×40589641000000     		ar = 3295.92883798402m²