Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81932 / 16372
↖ ↑ ↗
← N 79.177525°
E 45.032959°		 ← 57.34 m → N 79.177525°
E 45.035705°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
N 79.177009°
E 45.032959°		 ← 57.34 m →
3 288 m²		 N 79.177009°
E 45.035705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625095367431641 y=0.124912261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625095367431641 × 217)
    floor (0.625095367431641 × 131072)
    floor (81932.5)     		tx = 81932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124912261962891 × 217)
    floor (0.124912261962891 × 131072)
    floor (16372.5)     		ty = 16372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81932 / 16372 ti = "17/81932/16372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81932/16372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81932 ÷ 217
    81932 ÷ 131072     		x = 0.625091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16372 ÷ 217
    16372 ÷ 131072     		y = 0.124908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625091552734375 × 2 - 1) × π
    0.25018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78597341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124908447265625 × 2 - 1) × π
    0.75018310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35676973292044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78597341} λ = 0.78597341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35676973292044))-π/2
    2×atan(10.5567950474718)-π/2
    2×1.47635241568736-π/2
    2.95270483137472-1.57079632675     		φ = 1.38190850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78597341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38190850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.177525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81932 KachelY 16372 0.78597341 1.38190850 45.032959 79.177525
    Oben rechts KachelX + 1 81933 KachelY 16372 0.78602134 1.38190850 45.035705 79.177525
    Unten links KachelX 81932 KachelY + 1 16373 0.78597341 1.38189950 45.032959 79.177009
    Unten rechts KachelX + 1 81933 KachelY + 1 16373 0.78602134 1.38189950 45.035705 79.177009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38190850-1.38189950) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dl = 57.3389999995268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38190850-1.38189950) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dr = 57.3389999995268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78597341-0.78602134) × cos(1.38190850) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187766619601526 × 6371000     		do = 57.336796127795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78597341-0.78602134) × cos(1.38189950) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187775459516966 × 6371000     		du = 57.3394955023185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38190850)-sin(1.38189950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187766619601526-0.187775459516966)×R²
    abs(0.78602134-0.78597341)×8.83991543915164e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.83991543915164e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.83991543915164e-06×40589641000000     		ar = 3287.71194284206m²