Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81937 / 16433
↖ ↑ ↗
← N 79.146021°
E 45.046692°		 ← 57.51 m → N 79.146021°
E 45.049439°		 →
↑
57.53 m
↓
↑
57.53 m
↓
N 79.145504°
E 45.046692°		 ← 57.52 m →
3 309 m²		 N 79.145504°
E 45.049439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625133514404297 y=0.125377655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625133514404297 × 217)
    floor (0.625133514404297 × 131072)
    floor (81937.5)     		tx = 81937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125377655029297 × 217)
    floor (0.125377655029297 × 131072)
    floor (16433.5)     		ty = 16433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81937 / 16433 ti = "17/81937/16433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81937/16433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81937 ÷ 217
    81937 ÷ 131072     		x = 0.625129699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16433 ÷ 217
    16433 ÷ 131072     		y = 0.125373840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625129699707031 × 2 - 1) × π
    0.250259399414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.78621309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125373840332031 × 2 - 1) × π
    0.749252319335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.35384558204362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78621309} λ = 0.78621309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35384558204362))-π/2
    2×atan(10.5259704757906)-π/2
    2×1.47607749212446-π/2
    2.95215498424892-1.57079632675     		φ = 1.38135866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78621309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.046692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38135866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.146021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81937 KachelY 16433 0.78621309 1.38135866 45.046692 79.146021
    Oben rechts KachelX + 1 81938 KachelY 16433 0.78626103 1.38135866 45.049439 79.146021
    Unten links KachelX 81937 KachelY + 1 16434 0.78621309 1.38134963 45.046692 79.145504
    Unten rechts KachelX + 1 81938 KachelY + 1 16434 0.78626103 1.38134963 45.049439 79.145504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38135866-1.38134963) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dl = 57.5301299997799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38135866-1.38134963) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dr = 57.5301299997799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78621309-0.78626103) × cos(1.38135866) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.188306651556295 × 6371000     		do = 57.5136983985991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78621309-0.78626103) × cos(1.38134963) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.188315520004459 × 6371000     		du = 57.5164070509423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38135866)-sin(1.38134963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188306651556295-0.188315520004459)×R²
    abs(0.78626103-0.78621309)×8.86844816422316e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.86844816422316e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.86844816422316e-06×40589641000000     		ar = 3308.84846028867m²