Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81938 / 114706
↖ ↑ ↗
← S 79.180619°
E 45.049439°		 ← 57.32 m → S 79.180619°
E 45.052185°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
S 79.181134°
E 45.049439°		 ← 57.32 m →
3 287 m²		 S 79.181134°
E 45.052185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625141143798828 y=0.875141143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625141143798828 × 217)
    floor (0.625141143798828 × 131072)
    floor (81938.5)     		tx = 81938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875141143798828 × 217)
    floor (0.875141143798828 × 131072)
    floor (114706.5)     		ty = 114706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81938 / 114706 ti = "17/81938/114706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81938/114706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81938 ÷ 217
    81938 ÷ 131072     		x = 0.625137329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114706 ÷ 217
    114706 ÷ 131072     		y = 0.875137329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625137329101562 × 2 - 1) × π
    0.250274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78626103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875137329101562 × 2 - 1) × π
    -0.750274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.35705735431816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78626103} λ = 0.78626103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35705735431816))-π/2
    2×atan(0.0946984776597293)-π/2
    2×0.0944169120732805-π/2
    0.188833824146561-1.57079632675     		φ = -1.38196250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78626103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.049439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38196250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.180619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81938 KachelY 114706 0.78626103 -1.38196250 45.049439 -79.180619
    Oben rechts KachelX + 1 81939 KachelY 114706 0.78630896 -1.38196250 45.052185 -79.180619
    Unten links KachelX 81938 KachelY + 1 114707 0.78626103 -1.38197150 45.049439 -79.181134
    Unten rechts KachelX + 1 81939 KachelY + 1 114707 0.78630896 -1.38197150 45.052185 -79.181134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38196250--1.38197150) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dl = 57.3389999995268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38196250--1.38197150) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dr = 57.3389999995268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78626103-0.78630896) × cos(-1.38196250) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.187713579789525 × 6371000     		do = 57.3205997829987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78626103-0.78630896) × cos(-1.38197150) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.187704739767637 × 6371000     		du = 57.3179003759698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38196250)-sin(-1.38197150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187713579789525-0.187704739767637)×R²
    abs(0.78630896-0.78626103)×8.84002188777933e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.84002188777933e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.84002188777933e-06×40589641000000     		ar = 3286.62848039583m²