Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81938 / 16402
↖ ↑ ↗
← N 79.162043°
E 45.049439°		 ← 57.42 m → N 79.162043°
E 45.052185°		 →
↑
57.47 m
↓
↑
57.47 m
↓
N 79.161526°
E 45.049439°		 ← 57.42 m →
3 300 m²		 N 79.161526°
E 45.052185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625141143798828 y=0.125141143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625141143798828 × 217)
    floor (0.625141143798828 × 131072)
    floor (81938.5)     		tx = 81938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125141143798828 × 217)
    floor (0.125141143798828 × 131072)
    floor (16402.5)     		ty = 16402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81938 / 16402 ti = "17/81938/16402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81938/16402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81938 ÷ 217
    81938 ÷ 131072     		x = 0.625137329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16402 ÷ 217
    16402 ÷ 131072     		y = 0.125137329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625137329101562 × 2 - 1) × π
    0.250274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78626103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125137329101562 × 2 - 1) × π
    0.749725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35533162593184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78626103} λ = 0.78626103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35533162593184))-π/2
    2×atan(10.5416241580325)-π/2
    2×1.47621730604766-π/2
    2.95243461209533-1.57079632675     		φ = 1.38163829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78626103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.049439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38163829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.162043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81938 KachelY 16402 0.78626103 1.38163829 45.049439 79.162043
    Oben rechts KachelX + 1 81939 KachelY 16402 0.78630896 1.38163829 45.052185 79.162043
    Unten links KachelX 81938 KachelY + 1 16403 0.78626103 1.38162927 45.049439 79.161526
    Unten rechts KachelX + 1 81939 KachelY + 1 16403 0.78630896 1.38162927 45.052185 79.161526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38163829-1.38162927) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dl = 57.4664200001671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38163829-1.38162927) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dr = 57.4664200001671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78626103-0.78630896) × cos(1.38163829) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.18803201669974 × 6371000     		do = 57.4178383243288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78626103-0.78630896) × cos(1.38162927) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.188040875801442 × 6371000     		du = 57.4205435576085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38163829)-sin(1.38162927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18803201669974-0.188040875801442)×R²
    abs(0.78630896-0.78626103)×8.8591017021189e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.8591017021189e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.8591017021189e-06×40589641000000     		ar = 3299.67534276831m²