Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81940 / 114708
↖ ↑ ↗
← S 79.181650°
E 45.054932°		 ← 57.33 m → S 79.181650°
E 45.057678°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
S 79.182166°
E 45.054932°		 ← 57.32 m →
3 287 m²		 S 79.182166°
E 45.057678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625156402587891 y=0.875156402587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625156402587891 × 217)
    floor (0.625156402587891 × 131072)
    floor (81940.5)     		tx = 81940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875156402587891 × 217)
    floor (0.875156402587891 × 131072)
    floor (114708.5)     		ty = 114708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81940 / 114708 ti = "17/81940/114708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81940/114708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81940 ÷ 217
    81940 ÷ 131072     		x = 0.625152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114708 ÷ 217
    114708 ÷ 131072     		y = 0.875152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625152587890625 × 2 - 1) × π
    0.25030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78635690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875152587890625 × 2 - 1) × π
    -0.75030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.3571532281174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78635690} λ = 0.78635690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3571532281174))-π/2
    2×atan(0.0946893989921039)-π/2
    2×0.0944079140900486-π/2
    0.188815828180097-1.57079632675     		φ = -1.38198050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78635690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.054932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38198050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.181650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81940 KachelY 114708 0.78635690 -1.38198050 45.054932 -79.181650
    Oben rechts KachelX + 1 81941 KachelY 114708 0.78640484 -1.38198050 45.057678 -79.181650
    Unten links KachelX 81940 KachelY + 1 114709 0.78635690 -1.38198950 45.054932 -79.182166
    Unten rechts KachelX + 1 81941 KachelY + 1 114709 0.78640484 -1.38198950 45.057678 -79.182166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38198050--1.38198950) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dl = 57.3389999995268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38198050--1.38198950) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dr = 57.3389999995268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78635690-0.78640484) × cos(-1.38198050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187695899730545 × 6371000     		do = 57.32715907013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78635690-0.78640484) × cos(-1.38198950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18768705967825 × 6371000     		du = 57.3244590906161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38198050)-sin(-1.38198950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187695899730545-0.18768705967825)×R²
    abs(0.78640484-0.78635690)×8.84005229523366e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.84005229523366e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.84005229523366e-06×40589641000000     		ar = 3287.00456685256m²