Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81940 / 16404
↖ ↑ ↗
← N 79.161010°
E 45.054932°		 ← 57.44 m → N 79.161010°
E 45.057678°		 →
↑
57.47 m
↓
↑
57.47 m
↓
N 79.160493°
E 45.054932°		 ← 57.44 m →
3 301 m²		 N 79.160493°
E 45.057678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625156402587891 y=0.125156402587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625156402587891 × 217)
    floor (0.625156402587891 × 131072)
    floor (81940.5)     		tx = 81940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125156402587891 × 217)
    floor (0.125156402587891 × 131072)
    floor (16404.5)     		ty = 16404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81940 / 16404 ti = "17/81940/16404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81940/16404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81940 ÷ 217
    81940 ÷ 131072     		x = 0.625152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16404 ÷ 217
    16404 ÷ 131072     		y = 0.125152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625152587890625 × 2 - 1) × π
    0.25030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78635690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125152587890625 × 2 - 1) × π
    0.74969482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3552357521326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78635690} λ = 0.78635690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3552357521326))-π/2
    2×atan(10.5406135409209)-π/2
    2×1.47620829195114-π/2
    2.95241658390228-1.57079632675     		φ = 1.38162026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78635690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.054932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38162026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.161010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81940 KachelY 16404 0.78635690 1.38162026 45.054932 79.161010
    Oben rechts KachelX + 1 81941 KachelY 16404 0.78640484 1.38162026 45.057678 79.161010
    Unten links KachelX 81940 KachelY + 1 16405 0.78635690 1.38161124 45.054932 79.160493
    Unten rechts KachelX + 1 81941 KachelY + 1 16405 0.78640484 1.38161124 45.057678 79.160493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38162026-1.38161124) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dl = 57.4664200001671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38162026-1.38161124) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dr = 57.4664200001671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78635690-0.78640484) × cos(1.38162026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18804972506625 × 6371000     		do = 57.4352264351184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78635690-0.78640484) × cos(1.38161124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18805858413737 × 6371000     		du = 57.437932223471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38162026)-sin(1.38161124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18804972506625-0.18805858413737)×R²
    abs(0.78640484-0.78635690)×8.85907112019302e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.85907112019302e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.85907112019302e-06×40589641000000     		ar = 3300.674591004m²