Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81944 / 49176
↖ ↑ ↗
← N 40.930115°
E 45.065918°		 ← 230.75 m → N 40.930115°
E 45.068665°		 →
↑
230.69 m
↓
↑
230.69 m
↓
N 40.928040°
E 45.065918°		 ← 230.76 m →
53 234 m²		 N 40.928040°
E 45.068665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625186920166016 y=0.375186920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625186920166016 × 217)
    floor (0.625186920166016 × 131072)
    floor (81944.5)     		tx = 81944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375186920166016 × 217)
    floor (0.375186920166016 × 131072)
    floor (49176.5)     		ty = 49176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81944 / 49176 ti = "17/81944/49176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81944/49176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81944 ÷ 217
    81944 ÷ 131072     		x = 0.62518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49176 ÷ 217
    49176 ÷ 131072     		y = 0.37518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62518310546875 × 2 - 1) × π
    0.2503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78654865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37518310546875 × 2 - 1) × π
    0.2496337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.784247677784119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78654865} λ = 0.78654865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.784247677784119))-π/2
    2×atan(2.19075816456868)-π/2
    2×1.14258080017148-π/2
    2.28516160034296-1.57079632675     		φ = 0.71436527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78654865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71436527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.930115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81944 KachelY 49176 0.78654865 0.71436527 45.065918 40.930115
    Oben rechts KachelX + 1 81945 KachelY 49176 0.78659659 0.71436527 45.068665 40.930115
    Unten links KachelX 81944 KachelY + 1 49177 0.78654865 0.71432906 45.065918 40.928040
    Unten rechts KachelX + 1 81945 KachelY + 1 49177 0.78659659 0.71432906 45.068665 40.928040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71436527-0.71432906) × R
    3.6210000000092e-05 × 6371000     		dl = 230.693910000586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71436527-0.71432906) × R
    3.6210000000092e-05 × 6371000     		dr = 230.693910000586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78654865-0.78659659) × cos(0.71436527) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.755509229119713 × 6371000     		do = 230.751965381101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78654865-0.78659659) × cos(0.71432906) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.755532951171546 × 6371000     		du = 230.759210706336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71436527)-sin(0.71432906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755509229119713-0.755532951171546)×R²
    abs(0.78659659-0.78654865)×2.37220518333192e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37220518333192e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37220518333192e-05×40589641000000     		ar = 53233.9088660631m²