Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8195 / 8195
↖ ↑ ↗
← S  0.065918°
E  0.065918°		 ← 2 443.21 m → S  0.065918°
E  0.087891°		 →
↑
2 443.21 m
↓
↑
2 443.21 m
↓
S  0.087891°
E  0.065918°		 ← 2 443.21 m →
5 969 293 m²		 S  0.087891°
E  0.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500213623046875 y=0.500213623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500213623046875 × 214)
    floor (0.500213623046875 × 16384)
    floor (8195.5)     		tx = 8195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500213623046875 × 214)
    floor (0.500213623046875 × 16384)
    floor (8195.5)     		ty = 8195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8195 / 8195 ti = "14/8195/8195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8195/8195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8195 ÷ 214
    8195 ÷ 16384     		x = 0.50018310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8195 ÷ 214
    8195 ÷ 16384     		y = 0.50018310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50018310546875 × 2 - 1) × π
    0.0003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00115049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50018310546875 × 2 - 1) × π
    -0.0003662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00115049} λ = 0.00115049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00115048559088135))-π/2
    2×atan(0.998850175963939)-π/2
    2×0.784822920728908-π/2
    1.56964584145782-1.57079632675     		φ = -0.00115049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00115049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00115049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.065918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8195 KachelY 8195 0.00115049 -0.00115049 0.065918 -0.065918
    Oben rechts KachelX + 1 8196 KachelY 8195 0.00153398 -0.00115049 0.087891 -0.065918
    Unten links KachelX 8195 KachelY + 1 8196 0.00115049 -0.00153398 0.065918 -0.087891
    Unten rechts KachelX + 1 8196 KachelY + 1 8196 0.00153398 -0.00153398 0.087891 -0.087891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00115049--0.00153398) × R
    0.00038349 × 6371000     		dl = 2443.21479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00115049--0.00153398) × R
    0.00038349 × 6371000     		dr = 2443.21479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00115049-0.00153398) × cos(-0.00115049) × R
    0.00038349 × 0.999999338186453 × 6371000     		do = 2443.21317304735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00115049-0.00153398) × cos(-0.00153398) × R
    0.00038349 × 0.99999882345291 × 6371000     		du = 2443.21191544275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00115049)-sin(-0.00153398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999338186453-0.99999882345291)×R²
    abs(0.00153398-0.00115049)×5.14733542456014e-07×R²
    0.00038349×5.14733542456014e-07×6371000²
    0.00038349×5.14733542456014e-07×40589641000000     		ar = 5969293.096369m²