Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81950 / 16422
↖ ↑ ↗
← N 79.151709°
E 45.082397°		 ← 57.48 m → N 79.151709°
E 45.085144°		 →
↑
57.53 m
↓
↑
57.53 m
↓
N 79.151192°
E 45.082397°		 ← 57.49 m →
3 307 m²		 N 79.151192°
E 45.085144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625232696533203 y=0.125293731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625232696533203 × 217)
    floor (0.625232696533203 × 131072)
    floor (81950.5)     		tx = 81950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125293731689453 × 217)
    floor (0.125293731689453 × 131072)
    floor (16422.5)     		ty = 16422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81950 / 16422 ti = "17/81950/16422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81950/16422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81950 ÷ 217
    81950 ÷ 131072     		x = 0.625228881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16422 ÷ 217
    16422 ÷ 131072     		y = 0.125289916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625228881835938 × 2 - 1) × π
    0.250457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78683627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125289916992188 × 2 - 1) × π
    0.749420166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35437288793944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78683627} λ = 0.78683627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35437288793944))-π/2
    2×atan(10.53152234572)-π/2
    2×1.47612712687549-π/2
    2.95225425375097-1.57079632675     		φ = 1.38145793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78683627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.082397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38145793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.151709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81950 KachelY 16422 0.78683627 1.38145793 45.082397 79.151709
    Oben rechts KachelX + 1 81951 KachelY 16422 0.78688421 1.38145793 45.085144 79.151709
    Unten links KachelX 81950 KachelY + 1 16423 0.78683627 1.38144890 45.082397 79.151192
    Unten rechts KachelX + 1 81951 KachelY + 1 16423 0.78688421 1.38144890 45.085144 79.151192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38145793-1.38144890) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dl = 57.5301299997799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38145793-1.38144890) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dr = 57.5301299997799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78683627-0.78688421) × cos(1.38145793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188209156540976 × 6371000     		do = 57.4839209112658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78683627-0.78688421) × cos(1.38144890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1882180251579 × 6371000     		du = 57.4866296151526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38145793)-sin(1.38144890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188209156540976-0.1882180251579)×R²
    abs(0.78688421-0.78683627)×8.86861692411811e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.86861692411811e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.86861692411811e-06×40589641000000     		ar = 3307.1353590781m²