Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81952 / 114720
↖ ↑ ↗
← S 79.187835°
E 45.087890°		 ← 57.29 m → S 79.187835°
E 45.090637°		 →
↑
57.28 m
↓
↑
57.28 m
↓
S 79.188350°
E 45.087890°		 ← 57.29 m →
3 281 m²		 S 79.188350°
E 45.090637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625247955322266 y=0.875247955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625247955322266 × 217)
    floor (0.625247955322266 × 131072)
    floor (81952.5)     		tx = 81952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875247955322266 × 217)
    floor (0.875247955322266 × 131072)
    floor (114720.5)     		ty = 114720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81952 / 114720 ti = "17/81952/114720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81952/114720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81952 ÷ 217
    81952 ÷ 131072     		x = 0.625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114720 ÷ 217
    114720 ÷ 131072     		y = 0.875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.75048828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.35772847091284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78693214} λ = 0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35772847091284))-π/2
    2×atan(0.0946349452610889)-π/2
    2×0.0943539439812426-π/2
    0.188707887962485-1.57079632675     		φ = -1.38208844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38208844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.187835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81952 KachelY 114720 0.78693214 -1.38208844 45.087890 -79.187835
    Oben rechts KachelX + 1 81953 KachelY 114720 0.78698008 -1.38208844 45.090637 -79.187835
    Unten links KachelX 81952 KachelY + 1 114721 0.78693214 -1.38209743 45.087890 -79.188350
    Unten rechts KachelX + 1 81953 KachelY + 1 114721 0.78698008 -1.38209743 45.090637 -79.188350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38208844--1.38209743) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dl = 57.2752899999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38208844--1.38209743) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dr = 57.2752899999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78693214-0.78698008) × cos(-1.38208844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187589877034631 × 6371000     		do = 57.2947770097737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78693214-0.78698008) × cos(-1.38209743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187581046622544 × 6371000     		du = 57.2920799746275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38208844)-sin(-1.38209743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187589877034631-0.187581046622544)×R²
    abs(0.78698008-0.78693214)×8.83041208726842e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.83041208726842e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.83041208726842e-06×40589641000000     		ar = 3281.49773187175m²