Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81953 / 16415
↖ ↑ ↗
← N 79.155327°
E 45.090637°		 ← 57.46 m → N 79.155327°
E 45.093384°		 →
↑
57.47 m
↓
↑
57.47 m
↓
N 79.154810°
E 45.090637°		 ← 57.47 m →
3 302 m²		 N 79.154810°
E 45.093384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625255584716797 y=0.125240325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625255584716797 × 217)
    floor (0.625255584716797 × 131072)
    floor (81953.5)     		tx = 81953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125240325927734 × 217)
    floor (0.125240325927734 × 131072)
    floor (16415.5)     		ty = 16415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81953 / 16415 ti = "17/81953/16415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81953/16415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81953 ÷ 217
    81953 ÷ 131072     		x = 0.625251770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16415 ÷ 217
    16415 ÷ 131072     		y = 0.125236511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625251770019531 × 2 - 1) × π
    0.250503540039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.78698008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125236511230469 × 2 - 1) × π
    0.749526977539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.35470844623678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78698008} λ = 0.78698008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35470844623678))-π/2
    2×atan(10.5350568784144)-π/2
    2×1.47615869924522-π/2
    2.95231739849044-1.57079632675     		φ = 1.38152107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78698008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.090637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38152107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.155327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81953 KachelY 16415 0.78698008 1.38152107 45.090637 79.155327
    Oben rechts KachelX + 1 81954 KachelY 16415 0.78702802 1.38152107 45.093384 79.155327
    Unten links KachelX 81953 KachelY + 1 16416 0.78698008 1.38151205 45.090637 79.154810
    Unten rechts KachelX + 1 81954 KachelY + 1 16416 0.78702802 1.38151205 45.093384 79.154810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38152107-1.38151205) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dl = 57.4664200001671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38152107-1.38151205) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dr = 57.4664200001671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78698008-0.78702802) × cos(1.38152107) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.188147144542699 × 6371000     		do = 57.4649808509362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78698008-0.78702802) × cos(1.38151205) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.188156003445525 × 6371000     		du = 57.4676865878873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38152107)-sin(1.38151205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188147144542699-0.188156003445525)×R²
    abs(0.78702802-0.78698008)×8.85890282573132e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.85890282573132e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.85890282573132e-06×40589641000000     		ar = 3302.38446940923m²