Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81953 / 16419
↖ ↑ ↗
← N 79.153259°
E 45.090637°		 ← 57.48 m → N 79.153259°
E 45.093384°		 →
↑
57.47 m
↓
↑
57.47 m
↓
N 79.152743°
E 45.090637°		 ← 57.48 m →
3 303 m²		 N 79.152743°
E 45.093384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625255584716797 y=0.125270843505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625255584716797 × 217)
    floor (0.625255584716797 × 131072)
    floor (81953.5)     		tx = 81953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125270843505859 × 217)
    floor (0.125270843505859 × 131072)
    floor (16419.5)     		ty = 16419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81953 / 16419 ti = "17/81953/16419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81953/16419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81953 ÷ 217
    81953 ÷ 131072     		x = 0.625251770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16419 ÷ 217
    16419 ÷ 131072     		y = 0.125267028808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625251770019531 × 2 - 1) × π
    0.250503540039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.78698008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125267028808594 × 2 - 1) × π
    0.749465942382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.3545166986383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78698008} λ = 0.78698008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3545166986383))-π/2
    2×atan(10.5330370002177)-π/2
    2×1.47614065916519-π/2
    2.95228131833038-1.57079632675     		φ = 1.38148499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78698008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.090637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38148499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.153259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81953 KachelY 16419 0.78698008 1.38148499 45.090637 79.153259
    Oben rechts KachelX + 1 81954 KachelY 16419 0.78702802 1.38148499 45.093384 79.153259
    Unten links KachelX 81953 KachelY + 1 16420 0.78698008 1.38147597 45.090637 79.152743
    Unten rechts KachelX + 1 81954 KachelY + 1 16420 0.78702802 1.38147597 45.093384 79.152743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38148499-1.38147597) × R
    9.01999999980418e-06 × 6371000     		dl = 57.4664199987525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38148499-1.38147597) × R
    9.01999999980418e-06 × 6371000     		dr = 57.4664199987525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78698008-0.78702802) × cos(1.38148499) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.188182580062148 × 6371000     		do = 57.4758037706863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78698008-0.78702802) × cos(1.38147597) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.188191438903736 × 6371000     		du = 57.4785094889337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38148499)-sin(1.38147597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188182580062148-0.188191438903736)×R²
    abs(0.78702802-0.78698008)×8.85884158738359e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.85884158738359e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.85884158738359e-06×40589641000000     		ar = 3303.00642330923m²