Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81954 / 49186
↖ ↑ ↗
← N 40.909361°
E 45.093384°		 ← 230.78 m → N 40.909361°
E 45.096130°		 →
↑
230.82 m
↓
↑
230.82 m
↓
N 40.907285°
E 45.093384°		 ← 230.78 m →
53 269 m²		 N 40.907285°
E 45.096130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625263214111328 y=0.375263214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625263214111328 × 217)
    floor (0.625263214111328 × 131072)
    floor (81954.5)     		tx = 81954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375263214111328 × 217)
    floor (0.375263214111328 × 131072)
    floor (49186.5)     		ty = 49186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81954 / 49186 ti = "17/81954/49186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81954/49186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81954 ÷ 217
    81954 ÷ 131072     		x = 0.625259399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49186 ÷ 217
    49186 ÷ 131072     		y = 0.375259399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625259399414062 × 2 - 1) × π
    0.250518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78702802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375259399414062 × 2 - 1) × π
    0.249481201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.783768308787918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78702802} λ = 0.78702802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.783768308787918))-π/2
    2×atan(2.18970823469844)-π/2
    2×1.14239968788768-π/2
    2.28479937577536-1.57079632675     		φ = 0.71400305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78702802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.093384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71400305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.909361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81954 KachelY 49186 0.78702802 0.71400305 45.093384 40.909361
    Oben rechts KachelX + 1 81955 KachelY 49186 0.78707595 0.71400305 45.096130 40.909361
    Unten links KachelX 81954 KachelY + 1 49187 0.78702802 0.71396682 45.093384 40.907285
    Unten rechts KachelX + 1 81955 KachelY + 1 49187 0.78707595 0.71396682 45.096130 40.907285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71400305-0.71396682) × R
    3.62299999999705e-05 × 6371000     		dl = 230.821329999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71400305-0.71396682) × R
    3.62299999999705e-05 × 6371000     		dr = 230.821329999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78702802-0.78707595) × cos(0.71400305) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.755746483639789 × 6371000     		do = 230.776280409214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78702802-0.78707595) × cos(0.71396682) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.755770208877401 × 6371000     		du = 230.783525195934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71400305)-sin(0.71396682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755746483639789-0.755770208877401)×R²
    abs(0.78707595-0.78702802)×2.3725237611627e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.3725237611627e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.3725237611627e-05×40589641000000     		ar = 53268.9241078454m²