Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81957 / 16421
↖ ↑ ↗
← N 79.152226°
E 45.101624°		 ← 57.48 m → N 79.152226°
E 45.104370°		 →
↑
57.47 m
↓
↑
57.47 m
↓
N 79.151709°
E 45.101624°		 ← 57.48 m →
3 303 m²		 N 79.151709°
E 45.104370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625286102294922 y=0.125286102294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625286102294922 × 217)
    floor (0.625286102294922 × 131072)
    floor (81957.5)     		tx = 81957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125286102294922 × 217)
    floor (0.125286102294922 × 131072)
    floor (16421.5)     		ty = 16421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81957 / 16421 ti = "17/81957/16421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81957/16421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81957 ÷ 217
    81957 ÷ 131072     		x = 0.625282287597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16421 ÷ 217
    16421 ÷ 131072     		y = 0.125282287597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625282287597656 × 2 - 1) × π
    0.250564575195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.78717183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125282287597656 × 2 - 1) × π
    0.749435424804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.35442082483906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78717183} λ = 0.78717183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35442082483906))-π/2
    2×atan(10.5320272063501)-π/2
    2×1.47613163785109-π/2
    2.95226327570218-1.57079632675     		φ = 1.38146695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78717183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.101624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38146695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.152226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81957 KachelY 16421 0.78717183 1.38146695 45.101624 79.152226
    Oben rechts KachelX + 1 81958 KachelY 16421 0.78721977 1.38146695 45.104370 79.152226
    Unten links KachelX 81957 KachelY + 1 16422 0.78717183 1.38145793 45.101624 79.151709
    Unten rechts KachelX + 1 81958 KachelY + 1 16422 0.78721977 1.38145793 45.104370 79.151709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38146695-1.38145793) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dl = 57.4664200001671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38146695-1.38145793) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dr = 57.4664200001671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78717183-0.78721977) × cos(1.38146695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188200297730012 × 6371000     		do = 57.4812152023716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78717183-0.78721977) × cos(1.38145793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188209156540976 × 6371000     		du = 57.4839209112658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38146695)-sin(1.38145793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188200297730012-0.188209156540976)×R²
    abs(0.78721977-0.78717183)×8.85881096421293e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.85881096421293e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.85881096421293e-06×40589641000000     		ar = 3303.31739852331m²