Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81960 / 16488
↖ ↑ ↗
← N 79.117538°
E 45.109863°		 ← 57.66 m → N 79.117538°
E 45.112610°		 →
↑
57.66 m
↓
↑
57.66 m
↓
N 79.117020°
E 45.109863°		 ← 57.67 m →
3 325 m²		 N 79.117020°
E 45.112610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625308990478516 y=0.125797271728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625308990478516 × 217)
    floor (0.625308990478516 × 131072)
    floor (81960.5)     		tx = 81960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125797271728516 × 217)
    floor (0.125797271728516 × 131072)
    floor (16488.5)     		ty = 16488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81960 / 16488 ti = "17/81960/16488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81960/16488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81960 ÷ 217
    81960 ÷ 131072     		x = 0.62530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16488 ÷ 217
    16488 ÷ 131072     		y = 0.12579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62530517578125 × 2 - 1) × π
    0.2506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78731564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12579345703125 × 2 - 1) × π
    0.7484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35120905256451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78731564} λ = 0.78731564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35120905256451))-π/2
    2×atan(10.4982549967287)-π/2
    2×1.47582893244571-π/2
    2.95165786489142-1.57079632675     		φ = 1.38086154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78731564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.109863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38086154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.117538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81960 KachelY 16488 0.78731564 1.38086154 45.109863 79.117538
    Oben rechts KachelX + 1 81961 KachelY 16488 0.78736358 1.38086154 45.112610 79.117538
    Unten links KachelX 81960 KachelY + 1 16489 0.78731564 1.38085249 45.109863 79.117020
    Unten rechts KachelX + 1 81961 KachelY + 1 16489 0.78736358 1.38085249 45.112610 79.117020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38086154-1.38085249) × R
    9.04999999984391e-06 × 6371000     		dl = 57.6575499990055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38086154-1.38085249) × R
    9.04999999984391e-06 × 6371000     		dr = 57.6575499990055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78731564-0.78736358) × cos(1.38086154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188794854931363 × 6371000     		do = 57.6628082755664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78731564-0.78736358) × cos(1.38085249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188803742173401 × 6371000     		du = 57.6655226680423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38086154)-sin(1.38085249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188794854931363-0.188803742173401)×R²
    abs(0.78736358-0.78731564)×8.88724203793045e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.88724203793045e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.88724203793045e-06×40589641000000     		ar = 3324.77450389655m²