Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81961 / 16423
↖ ↑ ↗
← N 79.151192°
E 45.112610°		 ← 57.47 m → N 79.151192°
E 45.115356°		 →
↑
57.47 m
↓
↑
57.47 m
↓
N 79.150675°
E 45.112610°		 ← 57.48 m →
3 303 m²		 N 79.150675°
E 45.115356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625316619873047 y=0.125301361083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625316619873047 × 217)
    floor (0.625316619873047 × 131072)
    floor (81961.5)     		tx = 81961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125301361083984 × 217)
    floor (0.125301361083984 × 131072)
    floor (16423.5)     		ty = 16423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81961 / 16423 ti = "17/81961/16423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81961/16423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81961 ÷ 217
    81961 ÷ 131072     		x = 0.625312805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16423 ÷ 217
    16423 ÷ 131072     		y = 0.125297546386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625312805175781 × 2 - 1) × π
    0.250625610351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.78736358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125297546386719 × 2 - 1) × π
    0.749404907226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.35432495103982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78736358} λ = 0.78736358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35432495103982))-π/2
    2×atan(10.5310175092907)-π/2
    2×1.4761226156875-π/2
    2.952245231375-1.57079632675     		φ = 1.38144890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78736358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.112610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38144890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.151192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81961 KachelY 16423 0.78736358 1.38144890 45.112610 79.151192
    Oben rechts KachelX + 1 81962 KachelY 16423 0.78741151 1.38144890 45.115356 79.151192
    Unten links KachelX 81961 KachelY + 1 16424 0.78736358 1.38143988 45.112610 79.150675
    Unten rechts KachelX + 1 81962 KachelY + 1 16424 0.78741151 1.38143988 45.115356 79.150675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38144890-1.38143988) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dl = 57.4664200001671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38144890-1.38143988) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dr = 57.4664200001671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78736358-0.78741151) × cos(1.38144890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1882180251579 × 6371000     		do = 57.4746382448427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78736358-0.78741151) × cos(1.38143988) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188226883938221 × 6371000     		du = 57.4773433799849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38144890)-sin(1.38143988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1882180251579-0.188226883938221)×R²
    abs(0.78741151-0.78736358)×8.85878032097498e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.85878032097498e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.85878032097498e-06×40589641000000     		ar = 3302.93942793714m²