Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81967 / 16367
↖ ↑ ↗
← N 79.180103°
E 45.129089°		 ← 57.32 m → N 79.180103°
E 45.131836°		 →
↑
57.28 m
↓
↑
57.28 m
↓
N 79.179588°
E 45.129089°		 ← 57.33 m →
3 283 m²		 N 79.179588°
E 45.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625362396240234 y=0.124874114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625362396240234 × 217)
    floor (0.625362396240234 × 131072)
    floor (81967.5)     		tx = 81967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124874114990234 × 217)
    floor (0.124874114990234 × 131072)
    floor (16367.5)     		ty = 16367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81967 / 16367 ti = "17/81967/16367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81967/16367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81967 ÷ 217
    81967 ÷ 131072     		x = 0.625358581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16367 ÷ 217
    16367 ÷ 131072     		y = 0.124870300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625358581542969 × 2 - 1) × π
    0.250717163085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.78765120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124870300292969 × 2 - 1) × π
    0.750259399414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.35700941741854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78765120} λ = 0.78765120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35700941741854))-π/2
    2×atan(10.5593256508554)-π/2
    2×1.47637491541224-π/2
    2.95274983082448-1.57079632675     		φ = 1.38195350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78765120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.129089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38195350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.180103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81967 KachelY 16367 0.78765120 1.38195350 45.129089 79.180103
    Oben rechts KachelX + 1 81968 KachelY 16367 0.78769913 1.38195350 45.131836 79.180103
    Unten links KachelX 81967 KachelY + 1 16368 0.78765120 1.38194451 45.129089 79.179588
    Unten rechts KachelX + 1 81968 KachelY + 1 16368 0.78769913 1.38194451 45.131836 79.179588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38195350-1.38194451) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dl = 57.2752899999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38195350-1.38194451) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dr = 57.2752899999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78765120-0.78769913) × cos(1.38195350) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187722419796208 × 6371000     		do = 57.3232991855174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78765120-0.78769913) × cos(1.38194451) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187731249965481 × 6371000     		du = 57.3259955839319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38195350)-sin(1.38194451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187722419796208-0.187731249965481)×R²
    abs(0.78769913-0.78765120)×8.83016927319402e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.83016927319402e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.83016927319402e-06×40589641000000     		ar = 3283.28580310129m²