Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81967 / 16369
↖ ↑ ↗
← N 79.179072°
E 45.129089°		 ← 57.33 m → N 79.179072°
E 45.131836°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
N 79.178557°
E 45.129089°		 ← 57.33 m →
3 287 m²		 N 79.178557°
E 45.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625362396240234 y=0.124889373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625362396240234 × 217)
    floor (0.625362396240234 × 131072)
    floor (81967.5)     		tx = 81967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124889373779297 × 217)
    floor (0.124889373779297 × 131072)
    floor (16369.5)     		ty = 16369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81967 / 16369 ti = "17/81967/16369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81967/16369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81967 ÷ 217
    81967 ÷ 131072     		x = 0.625358581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16369 ÷ 217
    16369 ÷ 131072     		y = 0.124885559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625358581542969 × 2 - 1) × π
    0.250717163085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.78765120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124885559082031 × 2 - 1) × π
    0.750228881835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.3569135436193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78765120} λ = 0.78765120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3569135436193))-π/2
    2×atan(10.5583133367158)-π/2
    2×1.47636591615791-π/2
    2.95273183231583-1.57079632675     		φ = 1.38193551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78765120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.129089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38193551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.179072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81967 KachelY 16369 0.78765120 1.38193551 45.129089 79.179072
    Oben rechts KachelX + 1 81968 KachelY 16369 0.78769913 1.38193551 45.131836 79.179072
    Unten links KachelX 81967 KachelY + 1 16370 0.78765120 1.38192651 45.129089 79.178557
    Unten rechts KachelX + 1 81968 KachelY + 1 16370 0.78769913 1.38192651 45.131836 79.178557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38193551-1.38192651) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dl = 57.3389999995268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38193551-1.38192651) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dr = 57.3389999995268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78765120-0.78769913) × cos(1.38193551) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18774008994177 × 6371000     		do = 57.3286949770365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78765120-0.78769913) × cos(1.38192651) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187748929902851 × 6371000     		du = 57.3313943654974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38193551)-sin(1.38192651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18774008994177-0.187748929902851)×R²
    abs(0.78769913-0.78765120)×8.83996108116958e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.83996108116958e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.83996108116958e-06×40589641000000     		ar = 3287.2474314737m²