Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81982 / 16454
↖ ↑ ↗
← N 79.135154°
E 45.170288°		 ← 57.57 m → N 79.135154°
E 45.173035°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.134637°
E 45.170288°		 ← 57.57 m →
3 316 m²		 N 79.134637°
E 45.173035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625476837158203 y=0.125537872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625476837158203 × 217)
    floor (0.625476837158203 × 131072)
    floor (81982.5)     		tx = 81982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125537872314453 × 217)
    floor (0.125537872314453 × 131072)
    floor (16454.5)     		ty = 16454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81982 / 16454 ti = "17/81982/16454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81982/16454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81982 ÷ 217
    81982 ÷ 131072     		x = 0.625473022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16454 ÷ 217
    16454 ÷ 131072     		y = 0.125534057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625473022460938 × 2 - 1) × π
    0.250946044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78837025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125534057617188 × 2 - 1) × π
    0.748931884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3528389071516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78837025} λ = 0.78837025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3528389071516))-π/2
    2×atan(10.5153795772887)-π/2
    2×1.47598266346551-π/2
    2.95196532693102-1.57079632675     		φ = 1.38116900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78837025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.170288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38116900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.135154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81982 KachelY 16454 0.78837025 1.38116900 45.170288 79.135154
    Oben rechts KachelX + 1 81983 KachelY 16454 0.78841819 1.38116900 45.173035 79.135154
    Unten links KachelX 81982 KachelY + 1 16455 0.78837025 1.38115996 45.170288 79.134637
    Unten rechts KachelX + 1 81983 KachelY + 1 16455 0.78841819 1.38115996 45.173035 79.134637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38116900-1.38115996) × R
    9.04000000012672e-06 × 6371000     		dl = 57.5938400008074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38116900-1.38115996) × R
    9.04000000012672e-06 × 6371000     		dr = 57.5938400008074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78837025-0.78841819) × cos(1.38116900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188492915204382 × 6371000     		do = 57.5705881110178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78837025-0.78841819) × cos(1.38115996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188501793150608 × 6371000     		du = 57.5732996643136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38116900)-sin(1.38115996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188492915204382-0.188501793150608)×R²
    abs(0.78841819-0.78837025)×8.87794622617122e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.87794622617122e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.87794622617122e-06×40589641000000     		ar = 3315.78932481215m²