Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81983 / 16451
↖ ↑ ↗
← N 79.136708°
E 45.173035°		 ← 57.55 m → N 79.136708°
E 45.175781°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.136190°
E 45.173035°		 ← 57.55 m →
3 315 m²		 N 79.136190°
E 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625484466552734 y=0.125514984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625484466552734 × 217)
    floor (0.625484466552734 × 131072)
    floor (81983.5)     		tx = 81983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125514984130859 × 217)
    floor (0.125514984130859 × 131072)
    floor (16451.5)     		ty = 16451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81983 / 16451 ti = "17/81983/16451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81983/16451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81983 ÷ 217
    81983 ÷ 131072     		x = 0.625480651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16451 ÷ 217
    16451 ÷ 131072     		y = 0.125511169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625480651855469 × 2 - 1) × π
    0.250961303710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.78841819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125511169433594 × 2 - 1) × π
    0.748977661132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.35298271785046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78841819} λ = 0.78841819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35298271785046))-π/2
    2×atan(10.5168919101167)-π/2
    2×1.47599621615737-π/2
    2.95199243231473-1.57079632675     		φ = 1.38119611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78841819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.173035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38119611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.136708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81983 KachelY 16451 0.78841819 1.38119611 45.173035 79.136708
    Oben rechts KachelX + 1 81984 KachelY 16451 0.78846612 1.38119611 45.175781 79.136708
    Unten links KachelX 81983 KachelY + 1 16452 0.78841819 1.38118707 45.173035 79.136190
    Unten rechts KachelX + 1 81984 KachelY + 1 16452 0.78846612 1.38118707 45.175781 79.136190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38119611-1.38118707) × R
    9.04000000012672e-06 × 6371000     		dl = 57.5938400008074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38119611-1.38118707) × R
    9.04000000012672e-06 × 6371000     		dr = 57.5938400008074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78841819-0.78846612) × cos(1.38119611) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18846629109408 × 6371000     		do = 57.5504492350943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78841819-0.78846612) × cos(1.38118707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188475169086498 × 6371000     		du = 57.5531602368816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38119611)-sin(1.38118707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18846629109408-0.188475169086498)×R²
    abs(0.78846612-0.78841819)×8.87799241877651e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.87799241877651e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.87799241877651e-06×40589641000000     		ar = 3314.62943383296m²